Matematické Fórum

Trollin · 29. 07. 2016 18:27

Ahoj :)
potřebovala bych pomoci s výpočtem jednoho integrálu
$\int_{0}^{\pi }\frac{1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}(sin\varphi)^{2})^{\frac{3}{2}} }sin\varphi d\varphi$
když substituuju cos(phi)=x dostanu
$\int_{1}^{-1 }\frac{1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}(1-x^{2}))^{\frac{3}{2}} }dx$
a s tímhle už si nevím rady... neměl by někdo ějaký nápad?
Děkuju za pomoc :)

Jj · 29. 07. 2016 22:02 — Editoval Jj (29. 07. 2016 22:03)

↑ Trollin:

Dobrý den.

Zhruba: Po vytknutí konstant a dalších úpravách

$= \frac{1-\beta^2}{(1-\beta^2)^{3/2}} \int \frac{dx}{(1+ \frac{\beta^2 x^{2}}{1-\beta^2})^{\frac{3}{2}} }$ a po další substituci $\frac{\beta x}{\sqrt{1-\beta^2}}=y$

dostanete (bez uvedení násobných konstant) integrál tvaru $\int \frac{dy}{(1+y^2)^{3/2}}$ .

Je možno jej řešit třeba substitucemi x = tg z, x = sinh z; nebo také (asi jednodušeji) po drobné úpravě

$\int \frac{dy}{(1+y^2)^{3/2}}=\int \frac{1}{y^3} \frac{dy}{(\frac{1}{y^2}+1)^{3/2}}$

substitucí $\frac{1}{y^2}+1=z, \quad \frac{-2\,dy}{y^3}=dz$ , která už vede k tabulkovému integrálu.

Trollin · 29. 07. 2016 23:24

↑ Jj:
Děkuji za rady, nicméně ani jednu z těch konečných substitucí nemohu použít, tg a sinh mi vrátí meze, ze kterých nevytáhnu výsledek, který potřebuju (ještě s pár konstantama má ten integrál fyzikální význam) a s třetí substitucí získám obě meze stejné...

Jj · 30. 07. 2016 17:57

↑ Trollin:

A zkoušela jste některou z těch konečných substitucí?

Řekl bych, že

$\cdots =\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \int_{-1}^{1} \frac{dx}{(1+ \frac{\beta^2 x^{2}}{1-\beta^2})^{\frac{3}{2}}}\sim \frac{1}{\beta} \int_{-\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}}^{\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}} \frac{dy}{(1+ y^2)^{\frac{3}{2}}}$

Teď třeba hyperbolická: y = cosh z, dy = sinh z dz s mezemi:

$_{a\ = \ argsinh$-\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}$,\quad b\ =\ argsinh$\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}$}$

$\sim\frac{1}{\beta} \int_{a}^{b} \frac{\cosh z \ dz}{(1+ \sinh^2z)^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{\beta} \int_{a}^{b} \frac{\cosh z \ dz}{(\cosh^2z)^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{\beta} \int_{a}^{b} \frac{dz}{\cosh^2z}=$

$=\frac{1}{\beta}\[\tanh z\]_a^b=\frac{1}{\beta}\[\frac{\sinh z}{\cosh z}\]_a^b=\frac{1}{\beta}\[\frac{\sinh z}{\sqrt{1+\sinh^2z}}\]_a^b=$

$=\frac{2}{\beta}\,\frac{\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}}{\sqrt{1+$\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}$^2}}=\cdots = 2$

Matematické Fórum

#1 29. 07. 2016 18:27

určitý integrál

#2 29. 07. 2016 22:02 — Editoval Jj (29. 07. 2016 22:03)

Re: určitý integrál

#3 29. 07. 2016 23:24

Re: určitý integrál

#4 30. 07. 2016 17:57

Re: určitý integrál

Zápatí