Matematické Fórum

dominiksep · 05. 08. 2016 12:01

Ahoj,
potřeboval bych pomoct s následujícím příkladem:

V Gaussově rovině znázorněte množinu, pro kterou je splněna následující rovnost:
$|z-1|=|z+1|+3$

Výsledek je prázdná množina. Jak se k němu ale dopracuji? Doposud jsem tyto příklady řešil podle významu absolutní hodnoty, tedy u příkladu $|z-1|\le 1$ jsem si řekl, že je to vše okolo čísla [1;0] ve vzdálenosti menší nebo rovno 1. Tady si to ale neumím moc představit.
Děkuji za Vaši pomoc.
Dominik

Rumburak

↑ dominiksep:
Ahoj. Nápověfda:

Položíme-li $z = x + yi$ a použijeme-li definici abs. hodnoty k.č., pak z rovnice $|z-1|=|z+1|+3$ obdržíme

(1) $\sqrt{(x-1)^2 + y^2}= \sqrt{(x+1)^2 + y^2} + 3$ ,

jejímiž úpravami dojdeme k nějakému závěru.

dominiksep · 05. 08. 2016 12:47

↑ Rumburak:
Díky, to mě už napadlo, ale nějak jsem se do toho potom zamotal a zavrhl jsem to. Zkusím to tedy ještě jednou a napíši, k čemu jsem došel.

Rumburak

↑ dominiksep:

Možná bude početně výhodné ještě (před umocněním na druhou) upravit rovnici (1) na

$\sqrt{(x-1)^2 + y^2} - \frac{3}{2} = \sqrt{(x+1)^2 + y^2} + \frac{3}{2}$ .

Rumburak

↑ dominiksep:

Dostane-li se nám osvícení od Ducha Svatého, můžeme úlohu vyřešit i trikem spočívajícím
v substituci $z + 1 = v$ . Rovnice

(0) $|z-1|=|z+1|+3$

pak dostane tvar $|v-2| = |v| + 3$ resp. $|v| + 3 = |v-2|$ , odtud pomocí nerovnosti
$|a + b| \le |a|+|b|$ máme

$|v| + 3 = |v-2| = |v + (-2)| \le |v| + |-2| = |v| + 2$ ,

celkem tedy $|v| + 3 \le |v| + 2$ a tudíž $3 \le 2$ , což je výrok nepravdivý.

Předpoklad, že nějaké k.č. $z$ vyhovuje rovnici (0), tedy vede ke sporu, tudíž nemůže být pravdivý.
To znamená, že rovnice (0) nemůže být splněna pro žádné k. č. $z$ .

dominiksep

↑ Rumburak:
Omlouvám se, že odpovídám se zpožděním, nějakou dobu jsem nebyl doma. Postupnými úpravami jsem se dostal k následujícímu:
$\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}=\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}+3$ (1)
$(x-1)^{2}+y^{2}=(x+1)^{2}+y^{2}+6\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}+9$ (2)
$x^{2}-2x+1+y^{2}=x^{2}+2x+1+y^{2}+6\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}+9$ (3)
$-4x-9=6\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}$ (4)
$16x^{2}+72x+81=36((x+1)^{2}+y^{2})$ (5)
$16x^{2}+72x+81=36x^{2}+72x+36+36y^{2}$ (6)
$20x^{2}+36y^{2}=45$ (7)
Sem jsem se dostal i předtím, ale od tohoto bodu si nevím rady... Vypadá to jako rovnice nějakého kvadratického útvaru v rovině. Snažil jsem se to napasovat na elipsu a šlo mi to.

Eratosthenes · 30. 08. 2016 19:25

ahoj ↑ dominiksep:,

na elipsu ti to bohužel vypadá pouze kvůli tomu umocnění, což je tzv. důsledková úprava, která rozšiřuje množinu řešení. Držel bych se Ducha Svatého kolegy ↑ Rumburak: - skutečně se totiž jedná o prázdnou množinu...

Rumburak · 31. 08. 2016 10:39

↑ dominiksep:
Ahoj.
K problematice při umocňování rovnice na druhou jsem cosi napsal v příspěvku č. 6 zde .

dominiksep · 31. 08. 2016 15:20

↑ Rumburak:
Dobrá, až do rovnice 4 (včetně) jsem prováděl ekvivalentní úpravy. Zádrhel tedy bude u umocnění rovnice 4. Pravá strana rovnice je vždy kladná. Pro levou stranu musí platit:
$x<-\frac{4}{9}$
Opět nikde nevidím problém.
Asi se budu držet toho Ducha svatého... To řešení s pomocí trojúhelníkové nerovnosti je pěkné a elegantní.

Rumburak

↑ dominiksep:
Dostal ses k rovnici

(A) $-4x-9=6\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}$ .

Jejím umocněním na druhou ovšem dostaneš rovnici ekvivalentní s výrokovou formou

$-4x-9=6\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}} \vee 4x+9=6\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}$ .

Kdyby druhá z těchto rovnic, tj. rovnice

(B) $4x+9=6\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}$ ,

NEMĚLA řešení, pak by bylo všechno v pořádku a dalšími úpravami bychom mohli dostat pouze řešení rovnice (A).

Avšak rovnice (B) řešení MÁ, to však není řešením rovnice (A) , protože r-ce (A) řešení nemá, jak už víme.

Snad je to již jasné.

dominiksep · 31. 08. 2016 15:53

↑ Rumburak:
Výborně, děkuji za pomoc :-)

Eratosthenes · 01. 09. 2016 09:19

↑ dominiksep:

>> až do rovnice 4 (včetně) jsem prováděl ekvivalentní úprav

Nikoli. První umocnění je hned na začátku:

$\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}=\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}+3$ (1)
$(x-1)^{2}+y^{2}=(x+1)^{2}+y^{2}+6\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}+9$ (2)

dominiksep · 01. 09. 2016 09:56

↑ Eratosthenes:
Ale obě dvě strany rovnice jsou kladné, takže by to nemělo vadit.

Matematické Fórum

#1 05. 08. 2016 12:01

Zobrazení množiny v Gaussově rovině

#2 05. 08. 2016 12:16 — Editoval Rumburak (08. 08. 2016 11:26)

Re: Zobrazení množiny v Gaussově rovině

#3 05. 08. 2016 12:47

Re: Zobrazení množiny v Gaussově rovině

#4 05. 08. 2016 13:17 — Editoval Rumburak (08. 08. 2016 11:27)

Re: Zobrazení množiny v Gaussově rovině

#5 05. 08. 2016 13:52 — Editoval Rumburak (08. 08. 2016 10:43)

Re: Zobrazení množiny v Gaussově rovině

#6 30. 08. 2016 18:32 — Editoval dominiksep (31. 08. 2016 15:12)

Re: Zobrazení množiny v Gaussově rovině

#7 30. 08. 2016 19:25

Re: Zobrazení množiny v Gaussově rovině

#8 31. 08. 2016 10:39

Re: Zobrazení množiny v Gaussově rovině

#9 31. 08. 2016 15:20

Re: Zobrazení množiny v Gaussově rovině

#10 31. 08. 2016 15:51 — Editoval Rumburak (02. 09. 2016 09:20)

Re: Zobrazení množiny v Gaussově rovině

#11 31. 08. 2016 15:53

Re: Zobrazení množiny v Gaussově rovině

#12 01. 09. 2016 09:19

Re: Zobrazení množiny v Gaussově rovině

#13 01. 09. 2016 09:56

Re: Zobrazení množiny v Gaussově rovině

Zápatí