Matematické Fórum

Tom · 28. 04. 2009 17:11

Potreboval bych osvetlit jak dokazat linearni zobrazeni. Teorie mi je vcelku jasna:

1. A(u+v)= A(u) + A(v)
2. A(cu) = cA(u)

Postup:

1:
Odkaz

2:
Odkaz

Sice se tam neco spocitalo- resp. se zjistilo cemu se rovna tvar A(u+v) Ale nejak z toho nedokazu vycist jaktoze se to rovna?

Rumburak · 28. 04. 2009 17:25

Chceme-li dokátat, že zobrazení A je lineární, pak postupem nejméně náročným na matematickou fantasii je ukázat, že

1. A(u + v) - A(u) - A(v) = 0 ,

2. A(c*u) - c*A(u) = 0 ,

tj. levá strana se vždy nejprve vyjádří pomocí konkrétního předpisu a pak se jen upravuje a upravuje, dokud nevyjde 0
(nulový vektor cílového prostoru).

Tom · 28. 04. 2009 18:02

Tak jako to jo, ale z toho prikladu co jsem uvedl vyse mi neni nikde jasny kde se to dokazalo. Pouze se tam rozepsalo A(u+v) na zaklade toho zobrazeni (x1-x2,x2+x3).
Bud to blbe chapu nebo tam chybi jedna cast...

Rumburak

Ano, je tam dokázána pouze první část - rovnost A(u+v)= A(u) + A(v), a to tím postupem,
že se vyjde z A(u+v) a rozepsáním tohoto výrazu a následnými jeho úpravami se dospěje
k A(u) + A(v). To je snad (obecně vzato) najčastěji se vyskytující způsob matematického důkazu.

Důkaz rovnosti A(cu) = cA(u) tam chybí, nejspíše proto, že je obzvláště velmi snadný,
je založen na faktu, že (c*x, c*y,c*z) ´= c*(x,y,z).

Zkus si tuto chybějící část důkazu doplnit sám, tím se naučíš nejvíc - a pošli případně svůj postup
ke kontrole. Kdyby to přes veškeré úsilí nešlo, klidně se ještě ozvi.

Tom · 29. 04. 2009 11:51

jo jasny uz jsem to pochopil:) Me matlo co se vlastne dokazalo resp. se porovnava uz ten samotny predpis [x1-x2, x2 + x3], proto jsem nevedel jak vysledek porovnat. a jestli se rovna.

Tom · 29. 04. 2009 12:05

Aha, tak jsem se dostal k dalsimu prikladu, kterej me totalne rozkop moji dosavadni teorii reseni:
http://i43.tinypic.com/20jqlif.jpg
uplne se v tom ztracim, co s tim delat, co kde na co aplikovat atd. Zde by mi asi pomohl polopaticky postup:P

Rumburak · 29. 04. 2009 14:09

Z didaktických důvodů budu postupovat velmi podrobně.
Polynom Dp je zkonstruován (způsobem přesně určeným) z koeficintů polynomu p, takže

polynomu $p_1(x) = a_1x^2 + b_1x + c_1$ je přiřazen polynom

(1) $Dp_1(x) = 2a_1x + b_1$ ,

polynomu $p_2(x) = a_2x^2 + b_2x + c_2$ je přiřazen polynom

(2) $Dp_2(x) = 2a_2x + b_2$ .

Chceme ověřit splnění rovnice $D(p_1+p_2) = Dp_1+Dp_2$ , což znamená ověřit, že pro každé reálné x platí

(3) $D(p_1+p_2)(x) = Dp_1(x)+Dp_2(x)$ .

PRVÝM důležitým krokem důkazu je uvědomit si, které koeficienty u jednotlivých mocnin x má polynom $p_1+p_2$ :
Jde o polynom, který číslu x přířadí hodnotu

(4) $p_1(x) + p_2(x)= (a_1x^2 + b_1x + c_1) + (a_2x^2 + b_2x + c_2) = (a_1+a_2)x^2 + (b_1+ b_2)x + (c_1+c_2)$ .

DRUHÝM krokem je na základě vyjádření (4) a předpisu pro konstrukci polynomu Dp odvodít, že pro každé reálné x je

(5) $D(p_1+p_2)(x) = 2(a_1+a_2)x + (b_1+b_2)$ .

Z tohoto vyjádření a pomocí (1) a (2) již snadno odvodíme (3). Není to nic jiného, než jakási skládačka symbolů
podle určitých pravidel (ostatně jako celá matematika).

Obdobně při důkazu druhé podmínky linearity.