Matematické Fórum

blazin95 · 22. 08. 2016 11:57

Dobrý den,

Potřeboval bych od Vás vysvětlit a případně spočítat tento příklad.
Snažil jsem se na toto téma najít nějaké materiály, ale z toho to moc nechapu a jsem z toho už zoufalý...
Jedná se o příklad ze zkouškové písemky, tak budu hrozne moc rád, pokud mi pomůžete.

Děkuji
Přeji hezký den
A předem děkuji za pomoc a ochotu

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-08/59846_2016-08-22-11.54.45-1-compressor.jpg

Bati · 22. 08. 2016 12:31

Ahoj.
a) to dáš
b) uhádneš, protože objem válce umíš spočítat
c) cyl. souřadnice jsou $(r,\varphi,h)$ , přičemž s kartézkými souřadnicemi jsou svázány pomocí $(x,y,z)=(r\cos\varphi,r\sin\varphi,h)=:C(r,\varphi,h)$ . Rozsah $(x,y,z)$ znáš, takže zbývá pomocí toho vztahu určit rozsah $(r,\varphi,h)$ , tj. $C^{-1}(\Omega)$ . Např. vidím, že $x^2+y^2=r^2$ , takže $r\in[0,3]$ atd. Taky to můžeš určit z obrázku, protože víme, co jednotlivé souřadnice $(r,\varphi,h)$ reprezentují.
d) je pak snadný důsledek c) a věty o substituci:
$\int_{\Omega}f(x,y,z)=\int_{C^{-1}(\Omega)}f(r\cos\varphi,r\sin\varphi,h)|\text{det}\,C'|$ .

Rumburak

↑ blazin95:

Zdravím a napovím.

Kdybychom škrtli podmínku $y \ge 0$ , šlo by o rotační válec, jehož osou je proložena souřadnicová osa $z$ ,
Jehož přesnou polohu a rozměry není těžké určit.

Parametrisaci v cyl. souřadnicích bude vhodné zavést v jejím standardním tvaru.

blazin95 · 22. 08. 2016 12:41

↑ Bati:
Dobrý den,

Já mám právě hrozné problémy s kreslením grafu v R3...
Takže se zaseknu už na tom prvním bodě...dokázal byste mi to prosim nakreslit a vysvětlit?

Bati · 22. 08. 2016 12:49

↑ blazin95:
Omega je definována konjunkcí tří podmínek, takže jí taky můžeme zapsat takto:
$\Omega=\{y\geq0\}\cap\{x^2+y^2\leq9\}\cap\{-1\leq z\leq1\}$ . (všechny množiny chápu jako podmnožiny $\mathbb{R}^3$ )
Tzn., že si stačí nakreslit ty tři množiny a udělat průnik, což je to, co naznačil ↑ Rumburak:.

blazin95 · 22. 08. 2016 12:51

↑ Bati:

Tohle vím, ale jak se to pak zakreslí do grafu?

Bati · 22. 08. 2016 12:58

↑ blazin95:
Ok, v tom případě navrhuju přesun tématu do SŠ...
Namaluj si poloprostor, kouli, válec, atd. a piš si k tomu definice těchto základních množin v $\mathbb{R^3}$ .
Já tu kreslit nebudu, na to jsem moc línej.

blazin95 · 22. 08. 2016 13:17

↑ Bati:
Děkuji za pomoc...

Rumburak

↑ blazin95:

Jde o prostotový útvar, takže do roviny můžeme zakreslit jen některý jeho průmět.

Nerovnicí $x^2 + y^2 \le 9$ je v rovině Pxy (krerou můžeme pro větší názornost považovat za vodorovnou) určen
kruh o středu $P[0, 0]$ a poloměru $3$ , jak to známe ze SŠ.
Nerovnicí $y \ge 0$ je v téže rovině určena jistá polorovina, takže soustava

(1) $x^2 + y^2 \le 9 , y \ge 0$

vyjadřuje (v rovině Pxy) průnik uvedené poloroviny s výše uvedeným hruhem. Tento průnik - označme ho $M$ - bys
měl být schopen zakreslit.

Soustava (1) má však význam i v prostoru Pxyz: určuje množinu $V$ všech takových bodů $[x, y, z]$ , jejichlž kolmý průmět
do rovimy Pxy leží v obrazci $M$ . Podmínka $-1 \le z \le 1$ vybírá z množiny $V$ jen některé ...