Matematické Fórum

↑ Alesak:
Děkuji, to by mohlo být ono.

Ještě to tak pochopit..

Jediné, co mi leze do hlavy je rovnice začínající f(r)= u interpolace.

U ostatního začínám trochu pochybovat, jestli to je středoškolská matematika.. nebo jsem prostě tupec..

Když vynecháme výpočet pomocí matic, tak vlastě barycentrické souřadnice 1 a 2 spočítám z té soustavy 2 rovnic, které jsou = 0 (dosazením jedné do druhé) a souřadnici 3 pak za předpokladu, že jejich součet je roven 1.

Chápu to dobře?

Jestli ano, tak to není tak strašné. Sice je tam jedno dělení, ale to se vsákne.. lepší než počítat inverzní matici.. :-)


Ad engine: je to tolik poznat? Tak nějak jsem nepochopil vektory a matice, nebo rovnice, tak jsem všechno vyřešil bez nich. A toto je poslední věc, která mi chybí pro přesnou detekci kolizí (a tušil jsem to už od začátku, ale všechno má nějaké řešení). Nepochopil jsem, jak to udělat ve 3D, tak rotuji polygony do výhledu bodu na jeho souřadncice [0,0,Z], který bude kolidovat, převedu na 2D, a tím vím 2D pozici v trojúhelníku. A když vím, jakým 3D bodů, odpovídají jednotlivé vrcholy, chtěl jsem to nějak interpolovat. Ale nevím, jestli to nakonec nebude složitější.

↑ Rumburak:

Mě to asi tento rok nemyslí.. njn, 5 let po škole a jak to člověk nepoužívá, nedokáže už ani vyřešit 2 rovnice o 2 neznámých :-((

takže budu mít 3 rovnice o 3 neznámých a,b,c:

G = a*Ax+b*Ay+c
H = a*Bx+b*By+c
I = a*Cx+b*Cy+c

Toto řešení je jiná metoda nebo nějak souvisí s těmi barycentrickými souřadnicemi?

Se omlouvám, že to moc nechápu..

↑ Elfman83: 
Ad bar. souř.:  najdeš nejprve čísla  u, v, w  vyhovující  rovnicím  u*A + v*B + w*C = P ,  u + v + w = 1    - to jsou ty bar. souř. bodu P
vzhledem k bodům A, B, C. Číslo R, které chceš přiřadit bodu P,  pak bude  R =  u*G + v*H + w*J .

Téhož efektu lze dosáhnout i "mojí" metodou (pochopil jsi ji správně).  Rovnice  z = f(x,y)  , kde f je funkce definivaná v mém návrhu, je rovnicí roviny,
na níž leží body  [x_A, y_A,  G], [x_B, y_B,  H], [x_C, y_C,  J], takže bod  [x_P, y_P,  f(x_P, y_P)]  leží rovněž v této rovině a o to Ti zřejmě jde.

Metoda bar. souřadnic se používá k obecnějším účelům a proto je i složitější.

Pokud to potřebuješ řešit pro obecné body A, B, C a obecné hodnoty G,H,I  (v některých zápisech píšeme J místo I), které budou průběžně
zadávány, pak asi jiné cesty není. To, co vyhodil počítač, je řešení soustavy pomocí Cramerovy metody přes determinanty (ale podrobně
jsem to nekontroloval), dynamické vyčíslování těch vzorců počítač snadno zvládne. Pokud budeš na to psát program, je potřeba ošetřit případ,
kdy body A,B,C leží v přímce, což se projeví podmínkou  K = 0  (pak nelze souatavu řešit touto metodou a úloha i ztrácí původní smysl).

Jsou-li body A,B,C a čísla G,H,I  pevně dány, pak se, myslím, vyplatí  vypočítat  čísla a, b, c  ručně pomocí známé eliminační metody.

S tím návrhem vypočítat c podle vzorce c = a*cx+b*cy-i  máš samozřejmě pravdu a stejnětak i dále, je vidět, že nejsi pro matematiku
ztracen (:-)).

↑ Elfman83: Jenom ještě dvě "maličkosti":

1) Zmatky okolo I, J mám na svědomí já (viz příspěvek č. 4, kde jsem omylem zavedl I).

2) K= 0 neznamená, že bod P "neleží v troiúhelníku ABC", ale že trojúhelník ABC neexistuje (ježto body A,B,C leží na společné přímce).
Má-li se testovat, zda bod P leží v onom trojúhelníku, pak bude nejspíš nutno vypočítat ty barycentrické souřadnice bodu P a otestovat je
co do znaménka. Význam jejich znamének je následující:

     všechny b.s. kladné                                    znamená, že  bod P leží     uvnitř trojúhelníka,
     všechny b.s. nezáporné a některá nulová                 - " -                     na některé jeho straně včetně vrcholů,
     některá b.s. záporná                                               - " -                     vně trojůhelníka.
   
Nějaká jiná a na výpočet méně náročná metoda, jak toto ověřit, mne nenapadá. Leda snad následující způsob, i když ani ten není početně triviální:
Vyjádříme si   
                       A(x,y) = 0 rovnici přímky BC,   
                       B(x,y) = 0 rovnici přímky AC,     
                       C(x,y) = 0 rovnici přímky AB,

a dále               T = (1/3) (A + B + C)   těžiště trojúh. ABC. 

Potom plat:  bod P leží uvnitř trojůhelníku ABC, právě když

                     A(P) má stejné znaménko jako A(T)
     a zároveň  B(P) má stejné znaménko jako B(T)
     a zároveň  C(P) má stejné znaménko jako C(T).

Ještě dodatek, kdyby to někdo potřeboval řešit přes ty barycentrické souřadnice (nemusí to být nutně správně, ale snad to někoho v případě nouze nakopne):

Tyto souřadnice s1-s3 se pro body B1-B3 (kterým odpovídá 2D souřadnice x1-x3 a y1-y3) a bod P (kterému odpovídají x a y) vypočtou:

s1+s2+s3=1
s1*(x1-x3)+s2*(x2-x3)+x3-x=0
s1*(y1-y3)+s2*(y2-y3)+y3-y=0

tj.:

s1 = (x(y3-y2)+x2(y-y3)+x3(y2-y))/(x1(y3-y2)+x2(y1-y3)+x3(y2-y1))
s2 = (y-s1*(y1-y3)-y3)/(y2-y3)
s3 = 1-s2-s1

a hodnotu R u bodu P pak vypočteme jako:

P = s1*G+s2*H+s3*I

Snad to mám dobře.. kdyžtak mne pak někdo prosím opravte :-) Díky..