Matematické Fórum

Marian · 24. 08. 2016 05:56 — Editoval Marian (09. 06. 2017 05:38)

Nechť a, b, c jsou libovolná kladná čísla. Dokažte nerovnost

$\boldsymbol{a+2\sqrt{bc}\ge 3\sqrt[3]{abc}}.$

vanok · 25. 08. 2016 10:31

Pozdravujem ↑ Marian:,
Pekne cvicenie.
Co sa predpoklada na tejto urovni ? Riesitel ma poznat arimeticko geometricku nerovnost?

Marian · 25. 08. 2016 10:52 — Editoval Marian (28. 08. 2016 12:06)

Nějak přímo nevidím, jak by se AG nerovnost měla použít. Osobně bych to řešil velmi jednoduše bez znalosti jakýchkoliv speciálních nerovností. Ale kreativitu řešících nechci omezovat, na druhou stranu mě potěší co nejjednodušší přístup, o který se mi samozřejmě jedná. Více prozatím nechci prozradit. Své řešení s ohledem na vývoj tohoto vlákna prozradím dříve či později.

vanok · 27. 08. 2016 10:44 — Editoval vanok (27. 08. 2016 11:18)

Ahoj ↑ Marian:,
Aj ked otazka ci AG nerovnost je prirodzena pre stredoskolaka je asi otazka na ktoru je tazko odpovedat.... Ale riesenie vdaka nej sa mi zda byt trivizmus.
Inac pochopitelne riesit danu nerovnost inymi metodamy je vzdy zaujimave ( najmä pre riesitela).
Napr. Jedno take riesenie je
Polozme $A^6=a,B^6=b,C^6=c$ , co da ekvivalentny problem danemu problemu pre kladne A,B,C
"Dokazte,ze $A^6+2B^3C^3-3A^2B^2C^2\ge0$ "
Tu "la cerise sur le gâteau " je nast faktorizaciu vyrazu na lavo .... No vsak mi sa to zda tazke pre stredoskolaka....

Tvoje riesenie je iste pekne a si ho s radostou precitam.

Eratosthenes · 27. 08. 2016 19:33

ahoj ↑ Marian:,

$(x-y)^2\ge 0$
$x^2+y^2\ge 2xy$
$(x^2+y^2)(2x+y)\ge 2xy(2x+y)$

Roznásobením a úpravou

$2x^3+y^3\ge 3x^2y$

Substitucí $x^3=\sqrt{bc}$ ; $y^3=a$ dostáváme dokazované tvrzení (pokud jsem se někde v té rychlosti nesekl:-)

vanok · 27. 08. 2016 21:57

↑ Eratosthenes:,
Len mala poznamka. Podla zelania kolegu ↑ Marian: je mozne nepouzit AG nerovnost (Co robis v druhom riadku tvojho riesenia) ak vyuzijes tuto faktorizaciu ( podobnu tej o ktorej pisem v ↑ vanok:) $2x^3+y^3-3x^2y=(x-y)^2(2x+y)$

Eratosthenes · 27. 08. 2016 22:17

↑ vanok:

vůbec nevím, co je AG nerovnost. Využil jsem jen toho, že druhá mocnina je nezáporná a druhé mocniny rozdílu. Nedělal jsem žádnou faktorizaci, ale naopak jen roznásoboval...

vanok · 27. 08. 2016 22:29

↑ Eratosthenes:,
AG nerovnost, hovori ze https://cs.m.wikipedia.org/wiki/Nerovno … ho_průměru
Co si robil som videl, len som ti napisal ako je mozne sa vyhnut AGnerovnosti. ... A ukoncit tvoj dokaz napr. tak ako si to urobil.

Marian · 28. 08. 2016 10:51 — Editoval Marian (29. 10. 2017 11:53)

V podstatě se asi ubírám podobným směrem.

Osobně bych podělil prvkem a, který je kladný (smysl nerovnosti se tak nezmění) a dále převedl věc pouze na jedinou proměnnou pomocí vhodné substituce:

$1+2\sqrt{\frac{bc}{a^2}} &\ge 3\sqrt[3]{\frac{bc}{a^2}}\\[2mm] 1+2t^3 &\ge 3t^2,\\[2mm] 2t^3-3t^2+1\ge 0,$

kde $\scriptstyle t:=\sqrt[6]{bc/a^2}$ . Vzhledem k tomu, že má polynom na levé straně poslední nerovnosti zřejmý kořen $\scriptstyle t=1$ , je možno provést faktorizaci jednoduše. Dostáváme

$(t-1)^2\cdot (2t+1)\ge 0.$

Protože podle definice parametru t je tento kladný, je poslední nerovnost platná a tudíž i původní, která je s ní ekvivalentní. Navíc rovnost platí pouze pro $\scriptstyle t=1$ , tj. v případě, když $\scriptstyle a^2=bc$ . Ve všech ostatních případech platí ostrá nerovnost.

Poznámka: Pro úplnost bych ještě přinejmenším já ocenil přidání řešení pomocí AG nerovnosti, kterou navrhuje kolega vanok.

vanok · 28. 08. 2016 11:30 — Editoval vanok (28. 08. 2016 11:34)

Pozdravujem ↑ Marian:,
Dobre pridam teraz vsetki podrobnosti, ktore som pochopitelne nedal skor aby to nezabrzdilo ine iniciativy.
Co sa tyka AG nerovnosti. V pripade A,B,C troch kladnych cisiel sa pise $\frac{A+B+C}3 \geq \sqrt[3] {ABC}$
Co da pre $A=a,B=C=\sqrt {bc}$
pytanu nerovnost.

Co sa tyka $A^6+2B^3C^3-3A^2B^2C^2\ge0$ , tam islo o pouzitie
$A^6+2B^3C^3-3A^2B^2C^2= (A^2-BC)^2(A^2+2BC)$ .

Pochopitelne ak najdem este inu metodu dam vam to vediet.

Marian · 28. 08. 2016 12:05

↑ vanok:

Čekal jsem složitosti, ale AG pro tři prvky funguje vskutku triviálně.

vanok · 28. 08. 2016 12:19 — Editoval vanok (28. 08. 2016 15:30)

Dalsia mala poznamka.
Na vysetrenie kladnosti $2t^3-3t^2+1$
Pre kladne t (tato funkcia sa najde v rieseni ↑ Marian: ) mozme vyuzit jej variacie pre kladne t, ktore sa mozu nast vdaka jej derivacii. ( ide o metodu bez faktorizacie, a zda sa mi, ze je pouzitelna aj pre stredoskolakov)

Matematické Fórum

#1 24. 08. 2016 05:56 — Editoval Marian (09. 06. 2017 05:38)

Nerovnost

#2 25. 08. 2016 10:31

Re: Nerovnost

#3 25. 08. 2016 10:52 — Editoval Marian (28. 08. 2016 12:06)

Re: Nerovnost

#4 27. 08. 2016 10:44 — Editoval vanok (27. 08. 2016 11:18)

Re: Nerovnost

#5 27. 08. 2016 19:33

Re: Nerovnost

#6 27. 08. 2016 21:57

Re: Nerovnost

#7 27. 08. 2016 22:17

Re: Nerovnost

#8 27. 08. 2016 22:29

Re: Nerovnost

#9 28. 08. 2016 10:51 — Editoval Marian (29. 10. 2017 11:53)

Re: Nerovnost

#10 28. 08. 2016 11:30 — Editoval vanok (28. 08. 2016 11:34)

Re: Nerovnost

#11 28. 08. 2016 12:05

Re: Nerovnost

#12 28. 08. 2016 12:19 — Editoval vanok (28. 08. 2016 15:30)

Re: Nerovnost

Zápatí