Matematické Fórum

Tomas5 · 27. 08. 2016 14:37

Dobrý den, nejsem si jist s postupem u tohoto příkladu:

Zadání je: Popište analyticky množinu všech osových afinit v $A^{2}$ , jejíž osou je přímka o rovnici $y=2x$ a jejichž směr afinity $\Omega$ je rovnoběžný s osou x.

Jedno řešení by mohlo vypadat takto:
$\begin{pmatrix} x'\\ y' \\ 1\end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} x\\ y \\ 1\end{pmatrix}$
, ale asi to budu mít špatně.

Prosím o kontrolu.

Eratosthenes · 27. 08. 2016 19:10

ahoj ↑ Tomas5:,

nemýlíš se, máš to špatně :-)

Napiš si úplně obecně matici osové afinity a využij toho, že každý bod osy je samodružný, tj. zobrazí se sám na sebe - vyber si třeba počátek a bod (1;2;1). Dále je třeba využít směru afinity. Ten obecně určuje vlastní vektor matice, čehož se dá využít i zde. Ale v tomto speciálním případě je jednodušší využít skutečnosti, že je-li tímto směrem osa x, pak afinita zachovává druhou souřadnici bodu.

Tomas5 · 27. 08. 2016 19:29

Děkuji za odpověď.

Myslel jste to takto nebo jinak?

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \\ 1\end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} x\\ y \\ 1\end{pmatrix}$ a po dosazení $\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1\end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ 1\end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 2a+b+c\\ 2d+e+f \\ 1\end{pmatrix}$ ?

Eratosthenes · 27. 08. 2016 22:13

ahoj ↑ Tomas5:,

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \\ 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \\ 1\end{pmatrix}$

ano

$\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$

ne. Počátek se zobrazí sám na sebe, takže

$\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$

Bod (1;2;1) se zobrazí sám na sebe, takže

$\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 1\end{pmatrix}$

atd.

Tomas5 · 28. 08. 2016 11:14

Děkuji ↑ Eratosthenes:,

vyšlo mi $\begin{pmatrix} x'\\ y' \\ 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1-2b & b & 0\\ 2-2e & e & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \\ 1\end{pmatrix}$ .

Je to správně nebo se to ještě dá upravit? Děkuji.

Eratosthenes · 28. 08. 2016 18:16

ahoj ↑ Tomas5:,

odtud

$\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$

máš c=f=0, to je OK.

Má-li afinita směr osy x, zachovává druhou souřadnici, tj.

$\begin{pmatrix} x'\\ y \\ 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & b & 0\\ d & e & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \\ 1\end{pmatrix}$

Odtud je d=0; e=1. První řádek je dobře. Matice je tedy:

$\begin{pmatrix} 1-2b & b & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

Takže: vlastně to máš dobře, až na to, že ti někde uniklo e=1 :-)

Tomas5 · 28. 08. 2016 19:25

Děkuji :-)

Matematické Fórum

#1 27. 08. 2016 14:37

množina osových afinit

#2 27. 08. 2016 19:10

Re: množina osových afinit

#3 27. 08. 2016 19:29

Re: množina osových afinit

#4 27. 08. 2016 22:13

Re: množina osových afinit

#5 28. 08. 2016 11:14

Re: množina osových afinit

#6 28. 08. 2016 18:16

Re: množina osových afinit

#7 28. 08. 2016 19:25

Re: množina osových afinit

Zápatí