Matematické Fórum

canicula · 27. 08. 2016 09:47

Zdravím! :)

Mohla bych poprosit o zkontrolování mého postupu a jeho případné doplnění?

Zadání zní:
Malý šváb o hmotnosti $m$ se drží okraje rotujícího disku o hmotnosti $M$ a poloměru $R$ . Disk rotuje (v horizontální rovině) kolem vertikální osy (bez tření), která vede jeho středem. Když je švám na okraji disku, rotuje s úhlovou rychlostí $\omega_0$ . Poté šváb kráčí rovnoměrným pohybem po přímce do středu disku. Moment setrvačnosti disku je $I = \frac{1}{2} MR^2$ .
Úkol:
Urči, jak se úhlová rychlost disku $\omega$ mění jako funkce švábovi radiální vzdálenosti $r$ od centra disku. Jak se mění kinetická energie systému, a proč?

Můj pokus o řešení:
a)
Pro moment setrvačnosti platí: $I = \frac{L}{\omega}$ . Když se bude šváb přibližovat do středu disku, moment hybnosti $L$ bude muset být zachován. Pro úhlovou rychlost je obecně: $\omega = \frac{v}{r}$ . Lze tedy napsat: $\omega (r) = \frac{v \sin \theta}{r}$ ?
b)
Jestliže se jedná o konstantní rychlost (pohybu švába do středu disku), pak: $v_0$ = konst., $\dot{r} = v_0$ , a $\dot{\theta} = \omega_0$ . Pro vyjádření jeho rychlosti v polárních souřadnicích bude:
$v = \dot{r} \underline{\text{r}} + r \dot{\theta} \underline{\theta}$
$v = v_0 \underline{\text{r}} + r \omega_0 \underline{\theta}$
A tedy: $|v| = \sqrt{v_0^2 + r^2 \omega^2}$
Pro KE:
$K = \frac{1}{2} (m+M)v^2 = \frac{1}{2} m (v_0^2 + r^2 \omega^2)$
Změna v KE bude:
$\frac{dK}{dt} = \frac{d}{dt}[\frac{1}{2} (m + M) (v_0^2 + r^2 \omega^2)] = (m+M) r\dot{r}\omega_0^2 = (m+M)rv_0\omega_0^2$
Jedná se o změnu KE celého systému (disk + šváb), a ne pouze švába? A jak odpovědět na otázku 'proč'?
Děkuji!

Xellos · 27. 08. 2016 23:03

a) Zachovanie m.h. je dobre, ale $v$ je rychlost okraja disku, ktoru nepoznas a nemozes polozit rovnu rychlosti svaba. Uhol $\theta$ nie je definovany; ak to je uhol natocenia disku (uhlova suradnica) z casti b), potom to je zjavna blbost, lebo by to znamenalo napr. ze uhlova rychlost je v nejakom bode nulova.

b) Kineticka energia rotacneho pohybu sa rata inak ako $\frac{1}{2}mv^2$ .
Pri finalnej derivacii sa ti zahadne zmenilo $\omega^2$ (premenna urcite zavisiaca na case) na $\omega_0^2$ .

Takze nie, nemas to dobre.

canicula

Aha, díky. A pokud to udělám jako:
rychlost švába na okraji disku:
$\vec{v_1} = v_0 \vec{r} + R \omega_0 \vec{\theta}$
$|v_1|^2 = v_0^2 + R^2 \omega_0^2$
a rychlost švába při pohybu do středu disku:
$\vec{v_2} = v \vec{r} + r \omega \vec{\theta}$
$|v_1|^2 = v^2 + r^2 \omega^2$ ,
mohu pak určit KE jako:
pro samotný disk: $K_D = \frac{1}{2} I \omega_0^2 = \frac{1}{4}M R^2 \omega_0^2$
a pro švába: $K_S = \frac{1}{2}(v^2 + r^2 \omega^2)$
abych získala: $K = \frac{1}{4} M R^2 \omega_0^2 + \frac{1}{2} m (v^2 + r^2 \omega^2)$ ???
Pro určení $\omega = \frac{v}{r}$

Nevím ale jak z toho obecného vyjádření pro úhlovou rychlost mám vyjádřit jak se mění švábova radiální vzdálenost $r$ od středu disku. Leda si ji mohu ještě vyjádřit jako: $\omega = \frac{L}{mr^2}$ , ale to mi taky asi nepomůže, že jo?

canicula · 29. 08. 2016 09:25

Anebo pokud použiju ze zadání $I = \frac{1}{2} MR^2$ , a tedy $L = \frac{1}{2} MR^2 \omega$ , mohu pak vyjádřit úhlovou rychlost disku jako:
$\omega = \frac{2L}{MR^2}$ .
Pak ale potřebuji nějak vyjádřit do tohoto vztahu radiální vzdálenost švába. Napadlo mě k tomu použít jeho rovnoměrnou rychlost do středu disku, tedy jsem chtěla použít, že $\vec{v} = konst.$ a tedy $\vec{\dot{v}} = 0$ , a použít $\vec{a} = (a - r \dot{\omega}^2)\vec{r} + (2v\omega + r \dot{\omega})\vec{\theta}$ kde $\omega = \dot{\theta}$ , ale nic mi z toho nevypadlo.

canicula · 29. 08. 2016 11:02

Nebo počkat, pokud se jedná o zákon zachování momentu hybnosti, mohu:
$\frac{1}{2} MR^2 \omega_0 = mr^2\omega$ ?
Mohla bych potom získat úhlovou rychlost švába jako:
$\omega = \frac{1}{2} \frac{MR^2}{mr^2} \omega_0$ ?

zdenek1 · 29. 08. 2016 14:07

↑ canicula:
Poslední myšlenka (11:02) už je hodně blízko, jen zapomínáš některé členy

m.h. disku na začátku + m.h. švába na začátku = (m.h. disku + m.h. švába) když je šváb "někde"

PS: energii se můžeme věnovat, až vyřešíme toto

canicula · 30. 08. 2016 16:41

Jasný, takže to pak je:
$\frac{1}{2}MR^2\omega_0 + \frac{1}{2}mR^2\omega_0 = mr^2\omega$ ? Nebo: $= (M + m) r^2 \omega$ ?

Xellos · 31. 08. 2016 00:17

Uvedom si ze $\frac{1}{2}$ je len v momente zotrvacnosti disku a nie svaba. Takze to musi byt len pri $M$ a vzdy pri $M$ .

$K = \frac{1}{4} M R^2 \omega_0^2 + \frac{1}{2} m (v^2 + r^2 \omega^2)$ je skoro dobre - ale preco by tam malo byt raz $\omega$ a raz $\omega_0$ ? Svab a disk sa tocia spolocnou uhlovou rychlostou.

canicula · 31. 08. 2016 10:19

Takže takto: $\frac{1}{2}MR^2\omega_0 + mR^2\omega_0 = \frac{1}{2}MR^2\omega + mr^2\omega$ ?
Takže pak $\omega(r)$ bude:
$MR^2\omega_0 + 2R^2\omega_0 m = MR^2 \omega + 2r^2 \omega m$
$R^2(M\omega_0 + 2 \omega_0 m) = \omega (MR^2 + 2r^2m)$
$\omega = R^2 \frac{M + 2m}{MR^2 + 2r^2m} \omega_0$ ?

A pro otázku, jak se mění KE systému a proč:
$K = \frac{1}{4} MR^2 \omega_0^2 + \frac{1}{2} m (v^2 + r^2 \omega_0^2)$ ?
Takže změna bude:
$\frac{dK}{dt} = \frac{1}{2} \frac{d}{dt} [MR^2 \omega_0^2 + m (v^2 + r^2 \omega_0^2)]$ ?

zdenek1 · 31. 08. 2016 11:43

↑ canicula:
Ano $\omega(r)$ je OK.

Energie nikoli. Počítáš jen se změnou $r$ , jenže ona se mění i $\omega$
Viděl bych to na
$K=\frac12(I+mr^2)\omega^2(r)+\frac12mv^2$

Osobně si myslím, že se neptají na přesný výpočet změny, ale spíš na to, jestli $K$ roste, nebo klesá, což se dá zjistit i bez derivací. Ale proti gustu....

canicula · 31. 08. 2016 21:37

Paráda! Moc všem děkuju, velmi mi to pomohlo :)

Matematické Fórum

#1 27. 08. 2016 09:47

Šváb na rotujícím disku

#2 27. 08. 2016 23:03

Re: Šváb na rotujícím disku

#3 28. 08. 2016 10:06 — Editoval canicula (28. 08. 2016 10:07)

Re: Šváb na rotujícím disku

#4 29. 08. 2016 09:25

Re: Šváb na rotujícím disku

#5 29. 08. 2016 11:02

Re: Šváb na rotujícím disku

#6 29. 08. 2016 14:07

Re: Šváb na rotujícím disku

#7 30. 08. 2016 16:41

Re: Šváb na rotujícím disku

#8 31. 08. 2016 00:17

Re: Šváb na rotujícím disku

#9 31. 08. 2016 10:19

Re: Šváb na rotujícím disku

#10 31. 08. 2016 11:43

Re: Šváb na rotujícím disku

#11 31. 08. 2016 21:37

Re: Šváb na rotujícím disku

Zápatí