Matematické Fórum

edison · 29. 08. 2016 14:38

Ve Feynmanových přednáškách jsem narazil na kapitolu 15.4 nazvanou "B nebo A", kde srovnává uplatnění magnetické indukce B a vektorového potenciálu A a také, zda obě veličiny, nebo jen jedna popisuje skutečné pole.

V následující kapitole je zmíněn experiment Aharonova a Bohma, kde je mezi štěrbinami dvouštěrbinového experimentu s elektrony umístěn velmi štíhlý monokrystalický magnet, nahrazující štíhlý solenoid. Našel jsem též novější verzi experimentu, kdy se používá dvojice elektronových biprizmat, takže je tam více místa pro skutečný solenoid:
Effective beam separation schemes for the measurement of the electric Aharonov-Bohm effect in an ion interferometer

Výsledek v obou případech je, že solenoid na elektrony působí. Na tom by nebylo nic překvapivého, až na to, že všechny zmínky těchto pokusech, na které jsem narazil, obsahují tvrzení, že vně solenoidu je B=0 a proto tam působí pouze A.

Jenže to B=0 je zjednodušení, které se používá v praxi, aby se zjednodušily výpočty. Reálně tam B je, jen je obvykle z technického hlediska zanedbatelné k B uvnitř. Ostatně i Feynmam o pár kapitol dříve uvádí, že B vně solenoidu je zanedbatelné, nikoli nulové. A podle Biot-Savartova zákona samozřejmě vyjde venku nenulové B, pokud solenoid není nekonečně daleko.

Takže jak to tedy s tím Aharonov–Bohm efektem je?

Předpokládám, že to není tak zásadně slavný experiment jen proto, že prokázal samozřejmou věc, jako že B vně solenoidu není úplně nulové.

Zároveň je jasné, že neprokázal to, co se o něm všeobecně tvrdí, tedy že A působí na elektrony, přestože B=0. Tím by totiž zároveň musel přestat platit Biot-Savartův zákon.

Jak tomu tedy mám rozumět?
Je výsledné působení solenoidu v experimentu Aharonov–Bohm silnější, než by odpovídalo B podle Biot-Savartova zákona?
Pokud ano, měla by jít odvodit nějaká funkce, která vyjadřuje poměr mezi silou ohýbající dráhu elektronu s pomocí B a silou pocházející od A. Jak při jejím odvození postupovat?

Xellos · 29. 08. 2016 15:47

Common sense: extremne male $B$ je z fyzikalneho hladiska rovnake ako nulove - nula je len limita maleho cisla. $B$ vonku mozeme spravit lubovolne male napr. dajakym tienenim bez toho, aby sme menili $A$ resp. $B$ vnutri.
Otazka je len co staci na "extremne male", a to sa da otestovat napr. tak ze ked zosilnujeme tienenie, tak nepozorujeme zmenu vysledku experimentu (interferencneho patternu), ale ked menime prud solenoidom, tak to pozorujeme. Potom je jasne ze $B$ vnutri (resp. $A$ vsade) ovplyvnuje vysledky a $B$ vonku nie.

edison napsal(a):
Zároveň je jasné, že neprokázal to, co se o něm všeobecně tvrdí, tedy že A působí na elektrony, přestože B=0. Tím by totiž zároveň musel přestat platit Biot-Savartův zákon.

A to je problem? Biot-Savart je vysledok z klasickej elektrodynamiky, kvantovo vobec nemusi platit. Koniec koncov v kvantovke vyraz "X pole posobi na elektrony" nema zmysel, tam operatory posobia na vlnove funkcie.

edison napsal(a):
Je výsledné působení solenoidu v experimentu Aharonov–Bohm silnější, než by odpovídalo B podle Biot-Savartova zákona?

Ano.

edison napsal(a):
Pokud ano, měla by jít odvodit nějaká funkce, která vyjadřuje poměr mezi silou ohýbající dráhu elektronu s pomocí B a silou pocházející od A. Jak při jejím odvození postupovat?

Kvantovo alebo klasicky?
Klasicky: elektron vyletujuci nedefinovanou rychlostou nabura do tienitka. Ziadny interferencny obrazec. Dvojstrbinovy experiment bol sfalsovany [vast right-wing conspiracy].
Kvantovo: (asi) najdi operator $\hat{B}(\hat{r})$ vonku, skonstruuj hamiltonian, najdi jeho vlastne stavy - vlnove funkcie elektronu a spocitaj interefencny obrazec ako $|\psi|^2$ na tienitku. Fuj. Alebo spocitaj Feynmanov integral (2x fuj). Posobenie od $A$ uz bolo vyratane, s tym to mozes porovnat.
Alebo to mozes porovnat experimentalne ako som spomenul hore.

edison · 29. 08. 2016 18:27

Xellos napsal(a):
Common sense: extremne male $B$ je z fyzikalneho hladiska rovnake ako nulove - nula je len limita maleho cisla.

Ono ale není nějak extrémně slabé, ve vzdálenosti několikanásobku poloměru solenoidu je to v řádu 1-10 %. To je sice dost málo na to, abychom to my, technici, mohli zanedbat když počítáme přibližnou indukčnost cívky, ale dost silné na to, aby znatelně ovlivnilo interferenční obrazec, kde interferují vlny subnanometrových délek.

$B$ vonku mozeme spravit lubovolne male napr. dajakym tienenim bez toho, aby sme menili $A$ resp. $B$ vnutri.

Otazka je len co staci na "extremne male", a to sa da otestovat napr. tak ze ked zosilnujeme tienenie, tak nepozorujeme zmenu vysledku experimentu (interferencneho patternu), ale ked menime prud solenoidom, tak to pozorujeme. Potom je jasne ze $B$ vnutri (resp. $A$ vsade) ovplyvnuje vysledky a $B$ vonku nie.

Jenže v popisu těch experimentů jsem nenarazil na žádnou zmínku o stínění. Obecně je jasné, že tam bude nějaké vnější stínění proti okolním polím, ale kdyby tam bylo stínění mezi solenoidem a svazky elektronů, očekával bych, že o něm bude zmínka. Ale taky je možné, že kdybych uměl dohledat originální popis od autorů, třeba v něm stínění opravdu je. Pak by celý problém byl jen v tom, že se zmínka o něm nedostala do textů, co jsem našel.

edison napsal(a):
Zároveň je jasné, že neprokázal to, co se o něm všeobecně tvrdí, tedy že A působí na elektrony, přestože B=0. Tím by totiž zároveň musel přestat platit Biot-Savartův zákon.
A to je problem? Biot-Savart je vysledok z klasickej elektrodynamiky, kvantovo vobec nemusi platit. Koniec koncov v kvantovke vyraz "X pole posobi na elektrony" nema zmysel, tam operatory posobia na vlnove funkcie.

edison napsal(a):
Je výsledné působení solenoidu v experimentu Aharonov–Bohm silnější, než by odpovídalo B podle Biot-Savartova zákona?
Ano.

edison napsal(a):
Pokud ano, měla by jít odvodit nějaká funkce, která vyjadřuje poměr mezi silou ohýbající dráhu elektronu s pomocí B a silou pocházející od A. Jak při jejím odvození postupovat?
Kvantovo alebo klasicky?
Klasicky: elektron vyletujuci nedefinovanou rychlostou nabura do tienitka. Ziadny interferencny obrazec. Dvojstrbinovy experiment bol sfalsovany [vast right-wing conspiracy].
Kvantovo: (asi) najdi operator $\hat{B}(\hat{r})$ vonku, skonstruuj hamiltonian, najdi jeho vlastne stavy - vlnove funkcie elektronu a spocitaj interefencny obrazec ako $|\psi|^2$ na tienitku. Fuj. Alebo spocitaj Feynmanov integral (2x fuj). Posobenie od $A$ uz bolo vyratane, s tym to mozes porovnat.
Alebo to mozes porovnat experimentalne ako som spomenul hore.

Feynman to tam řeší "semiklasicky", kdy počítá změnu fáze integrováhním A po dráze:
$\varphi = \varphi (B=0) + \frac q \hbar \int_{trajektorie} A\cdot ds$
Jestliže lze A přepočítat na B:
$B = \nabla \times A,$
tak proč to nemá s B vyjít stejně?

Xellos · 31. 08. 2016 02:57

Ofc ja som ten experiment nerobil, cisla ti povedat neviem. Ale 1% uz moze byt dost malo, hlavne ked nastavis prud tak aby 100% stacilo len na posun patternu o 1 periodu.
Vypocet cez Feynmanov integral je exaktny - nepotrebuje predpoklad nuloveho $B$ vonku, otazkou tam je skor ci teoria z ktorej vychadza zodpoveda realite (a tento experiment ukazuje ze aj hej). Vyhrabal som ze amplituda vysledneho patternu vychadza umerna $\cos^2 \left(\frac{d}{4l\hbar}py+\frac{e\Phi}{2\hbar}\right)$ ; podstatne parametre su hybnost $p$ elektronu, magneticky tok $\Phi$ cez oblast vyznacenu moznymi drahami elektronu a suradnica $y$ .

Teraz si nie som isty ci tienenie nebolo aby vlnova funkcia nezaliezla do solenoidu (su to veci z prednasky a nie knih), ale cakal by som ze mag. pole sa da dajak vhodne odtienit.

Este ma napada ze klasicky by sa mozno dalo ratat ako EM vlna v mag. poli. Kazdopadne ako vlna sa to ratat musi.

Co vlastne pokladas ako protihypotezu? Ze pre presne nekonecny solenoid (presne nulove $B$ vonku) efekt zmizne?

edison · 12. 09. 2016 13:00

Nemám protihypotézu, jen bych to rád pochopil:-)

Pokud by to mělo jít počítat přes $\Phi$ , tak to je ale jen "převlečené" B. Odtud žádný Aharonov–Bohm nekouká.

Stínění, aby nebyly možné dráhy skrz solenoid není problém. Může být z materiálu bez vlivu na B i A. Horší by to bylo se stíněním proti B, to by samozřejmě mělo vliv i na A.

Ale pokud jsem správně pochopil ten Feynmanův výpočet, tak je mu v podstatě jedno, zda A může, nebo nemůže vytvářet B. To znamená, že zatímco při práci s B lze k A přidat libovolnou konstantu bez vlivu na B, při zkoumání vlivu na vlnovou funkci elektronu to neplatí a konstanta se cestou integruje taky.

Pochopil jsem to správně?
(moje znalosti integrování a derivování jsou dost mizerné)

edison · 12. 09. 2016 17:28

Jestliže je to tak, měl by v rámci symetrie existovat i podobný elektrostatický jev a bude pro změnu v rozporu s Faradayovou klecí: Interferenční experimenty s elektrony v plechové nádobě dopadnou různě podle toho, jak je nabitá, přestože uvnitř nebude žádné E.

To je ještě mnohem šílenější než B vs A:-)

Podíval jsem se znovu do Feynmana a ono jo... ty integrály jsou tam hned pod sebou, jen ten elektrostatický dále nekomentuje.

Začal jsem gůglit "electrostatic aharonov bohm effect" a našel jsem mj:
http://www.fis.cinvestav.mx/~lmontano/s … -56-65.pdf

a tam jsou i obrázky k tomu původnímu B-A experimentu i novější verze s toroidem a supravodivým stíněním. Text jsem zatím podrobněji nezkoumal, nahraju si to do mobilu a přelouskám ho někdy cestou v metru.

Zároveň je ale hodně článků s názve začínajícím Critical reexamination...

Začínám přemýšlet, jak v domácích podmínkách udělat elektronové biprizma:-)
Bylo by to pak moc hezký i pro fyzikální kroužek.

edison · 01. 10. 2016 03:15

Kdyby to někoho zajímalo, tak výsledek svého studia jsem shrnul na wiki:
https://cs.wikipedia.org/wiki/Aharonov-Bohm%C5%AFv_jev

Xellos · 12. 12. 2016 18:25

edison napsal(a):
Nemám protihypotézu, jen bych to rád pochopil:-)

Protihypotezu je fajn mat. Filozofia vedy funguje tak, ze mas hypotezu (v tomto pripade "vysledok experimentu zavisi na A pozdlz drah a nie na B pozdlz drah"), robis verzie experimentu ktore by ju mohli vyvratit (nie potvrdit, to je nanic) a cim viac ich potvrdi, tym doveryhodnejsia hypoteza je. Ked ti ju dajaky experiment vyvrati, tak ju musis zahodit.
Tu som jednu verziu ktora by mohla tvoj argument (cievka je konecna) vyvratit nacrtol, ostava len urobit ju.

Porovnaj s globalnym oteplovanim, kde hodnoty teploty nezodpovedaju modelom - ukazuje sa ze teplota vobec neklesa tak prudko ako sa tvrdilo - a americka NOAA upravuje DATA ABY ZODPOVEDALI MODELOM! Tiez nie je problem najst novinove clanky od prorokov skazy za poslednych 150 rokov ktori tvrdia striedavo ze Zem sa katastrofalne otepluje vs ochladzuje, len na to aby dostali zaplatene za "snahu odvratit to".

edison napsal(a):
Pokud by to mělo jít počítat přes $\Phi$ , tak to je ale jen "převlečené" B. Odtud žádný Aharonov–Bohm nekouká.

No, nie. $\Phi$ je jedna integralna velicina, zatial co $\vec{B}$ je pole. Konkretnemu mag. toku zodpoveda nekonecno poli.

Pri takych veciach ako funkciach je ten problem, ze znalost zopar hodnot ma strasne malu vypovednu hodnotu. Tak napr. pri nekonecnom solenoide je $B=0$ , ale $\vec{A}=(c/r)\hat{e}_{\phi}$ . Ak predlzujes solenoid, vplyv pola ti klesne na nulu, ale vplyv potencialu nie. Urcite nebude problem najst ine pripady s nulovym polom (hoci aj presne nulovym, nie limitne) a inym potencialom; tie by potom podla standardnej teorie davali ine vysledky, zasa zavisiace iba na $\Phi$ .

Prevlecene $\vec{B}$ by bolo nie jedno $\Phi$ , ale mnozina vsetkych moznych $\Phi(\Omega)$ kde $\Omega$ je "rozumna oblast".

edison napsal(a):
Ale pokud jsem správně pochopil ten Feynmanův výpočet, tak je mu v podstatě jedno, zda A může, nebo nemůže vytvářet B. To znamená, že zatímco při práci s B lze k A přidat libovolnou konstantu bez vlivu na B, při zkoumání vlivu na vlnovou funkci elektronu to neplatí a konstanta se cestou integruje taky.

Konstanta sa vyintegruje na nulu, co je dobra sprava - teoria ktora zavisi na niecom lubovolne zvolitelnom je zjavne zla. Zober si ze integral cez krivku od $\vec{z}$ do $\vec{k}$ (ktory pri tom vypocte vyjde) je
$\oint \vec{c} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = \vec{c} \cdot \oint \mathrm{d} \vec{l} = \vec{c}(\vec{k}-\vec{z})$
co pre uzavretu krivku ( $\vec{z}=\vec{k}$ ) da nulu.

edison napsal(a):
Jestliže je to tak, měl by v rámci symetrie existovat i podobný elektrostatický jev a bude pro změnu v rozporu s Faradayovou klecí: Interferenční experimenty s elektrony v plechové nádobě dopadnou různě podle toho, jak je nabitá, přestože uvnitř nebude žádné E.

Jasne. Na tom nie je nic divne, ked si uvedomis, ze kvantovka je nelokalna teoria, zatial co klasicka elektrodynamika je lokalna (kompatibilna s STR). Dava teda zmysel, ze nelokalna teoria bude davat nelokalne vysledky tam kde lokalna dava lokalne (a Faradayova klietka je perfektny priklad lokality eldyn).

Odporuje to zdravemu rozumu? No a? Cela kvantovka mu odporuje :D

Matematické Fórum

#1 29. 08. 2016 14:38

Aharonov–Bohm effect

#2 29. 08. 2016 15:47

Re: Aharonov–Bohm effect

edison napsal(a):

edison napsal(a):

edison napsal(a):

#3 29. 08. 2016 18:27

Re: Aharonov–Bohm effect

Xellos napsal(a):

edison napsal(a):

edison napsal(a):

edison napsal(a):

#4 31. 08. 2016 02:57

Re: Aharonov–Bohm effect

#5 12. 09. 2016 13:00

Re: Aharonov–Bohm effect

#6 12. 09. 2016 17:28

Re: Aharonov–Bohm effect

#7 01. 10. 2016 03:15

Re: Aharonov–Bohm effect

#8 12. 12. 2016 18:25

Re: Aharonov–Bohm effect

edison napsal(a):

edison napsal(a):

edison napsal(a):

edison napsal(a):

Zápatí