Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

Stránky: 1

 

#1 27. 08. 2016 19:31

Olínečka
Příspěvky: 139
Reputace:   0 
 

Důkaz - odmocniny

Ahoj, mám tady dvě typově podobné úlohy, se kterými si nevím rady.
Dokažte, že platí následující rovnost:
a) $\sqrt{15+10\sqrt{2}}-\sqrt{15-10\sqrt{2}}=2$
b) $\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+r}{2}}+\sqrt{\frac{a-r}{2}}$ kde $r=\sqrt{a^{2}-b}$

Jde mi o ten princip, jak mám postupovat, když je pod odmocninou další odmocnina? U toho druhého příkladu jsem tam zkoušela za r dosadit, ale přijde mi, že se to ještě více zkomplikovalo. Děkuji za rady.

Offline

 

#2 28. 08. 2016 09:57 — Editoval misaH (28. 08. 2016 09:58)

misaH
Příspěvky: 13459
 

Re: Důkaz - odmocniny

$\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+r}{2}}+\sqrt{\frac{a-r}{2}}$

Pýtame sa, či je to pravda, nad = musí byť otáznik.

Umocniť obidve strany:

$a+\sqrt b=\frac {a+r}{2}+2\sqrt \frac {a^2-r^2}{4}+\frac {a-r}{2} $

Nad = treba dať otáznik.

Dosadiť za $r^2$ a tak ďalej.

Analogicky prvý príklad. Nezabudnúť na otáznik nad rovná sa.

Offline

 

#3 28. 08. 2016 10:22 — Editoval vanok (28. 08. 2016 10:53)

vanok
Příspěvky: 14540
Reputace:   742 
 

Re: Důkaz - odmocniny

Ahoj ↑ Olínečka:,
To prve nemoze ti nic dat, lebo v skutocnosti $\sqrt{15+10\sqrt{2}}-\sqrt{15-10\sqrt{2}}=2\sqrt5$
Inac ak ide o pravdive rovnosti, tak jedna ( trikova metoda )je vynasobit prvu rovnost konjugovanym vyrazom.  ( tu To by bolo $\sqrt{15+10\sqrt{2}}+\sqrt{15-10\sqrt{2}}$ a vyuzit potom identitu "rozdiel stvorcov".  Potom polozit $X=\sqrt{15+10\sqrt{2}}, Y=\sqrt{15-10\sqrt{2}}$ a nakoniec vyriesit system  X+Y=...,X-Y=...
Ktoreho riesenie umozni ukoncit dokaz.....

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#4 28. 08. 2016 10:29 — Editoval vanok (28. 08. 2016 10:31)

vanok
Příspěvky: 14540
Reputace:   742 
 

Re: Důkaz - odmocniny

Poznamka.
Pochopitelne aj metoda od↑ misaH: (pozdravujem ) funguje, i ked je trosku dlhsia.
Ale tak ci tak pozor na prvu otazku. Treba ju napisat najprv bez chyby.
Druhu som neoveroval.... Ale aj metoda  co som popisal funguje.

Kde si nasla toto pekne cvicenie?

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 28. 08. 2016 10:55

misaH
Příspěvky: 13459
 

Re: Důkaz - odmocniny

↑ vanok:

:-)

Ahoj, vanok. Ďakujem...

Offline

 

#6 29. 08. 2016 10:30 — Editoval Rumburak (29. 08. 2016 10:46)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Důkaz - odmocniny

↑ Olínečka:

Ahoj. Zdravím i ostatní účastníky diskuse.

Poznamenejme, že umocnění rovnosti "na druhou" není ekvivelentní úprava, neboť například

                                 $(-1)^2 = (+1)^2        (=1)$,

přestože   $-1 \ne +1$. 

S implikací   $L = P  \Rightarrow L^2= P^2$  samozřejmě žádný problém není,  avšak obrácená mplikace

(1)                  $L^2 = P^2  \Rightarrow L= P$

v oboru reálných čísel je platná pouze tehdy, když čísla $L, P$ mají stejná znaménka nebo když alespoň
jedno z nich je 0.
U dokazované rovnosti $\sqrt{15+10\sqrt{2}}-\sqrt{15-10\sqrt{2}}=2$ je zřejmé, že její pravá strana je kladná.
Chtělo by ještě ověřit, že i levá strana je alespoň nezáporná.  Teprve pak bude použití impikace (1) korektní.

Offline

 

#7 29. 08. 2016 12:45

vanok
Příspěvky: 14540
Reputace:   742 
 

Re: Důkaz - odmocniny

Pozdravujem ↑ Rumburak:,
Pozor
Tu som ↑ vanok: upozornil na chybu v texte cvicenia. A tak mozes overit ze $\sqrt{15+10\sqrt{2}}-\sqrt{15-10\sqrt{2}}=2$ je chybne....
Po overeni som dostal $\sqrt{15+10\sqrt{2}}-\sqrt{15-10\sqrt{2}}=2\sqrt 5$

Ubohy  stredoskolaci! To asi neuvidia bez pomoci.

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#8 29. 08. 2016 13:50

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 8209
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   366 
 

Re: Důkaz - odmocniny

↑ vanok:
Zdravím, a co takto:
$\sqrt{15+10\sqrt{2}}-\sqrt{15-10\sqrt{2}}=\sqrt{15+10\sqrt 2-2\sqrt{225-100\cdot 2}+15-10\sqrt{2}}=\\\sqrt{30-2\sqrt{25}}=\sqrt{30-10}=\sqrt{20}=2\sqrt 5$

Nikdo není dokonalý

Offline

 

#9 29. 08. 2016 15:00

vanok
Příspěvky: 14540
Reputace:   742 
 

Re: Důkaz - odmocniny

Ahoj ↑ Cheop:,
Ano aj to pekna metoda. Variacie na tu temu su bohate.

Jedina tazkost, podla mna, bola nast tu chybu.

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#10 29. 08. 2016 15:23

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Důkaz - odmocniny

↑ vanok:

Ahoj.

O té chybě v (opisu ?) zadání není sporu. Šlo mi spíše o to upozornit, že i když umocněním původní "rovnosti" na druhou
vznikne zřejmá rovnost, nemusí to nutně znamenat, že původní "rovnost" platí.

Offline

 

#11 29. 08. 2016 16:02

vanok
Příspěvky: 14540
Reputace:   742 
 

Re: Důkaz - odmocniny

↑ Rumburak:
Ano to mozme dufat,  ze stredoskolaci co robia  take cvicenia, vedia o tom.

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#12 29. 08. 2016 17:29

zdenek1
Administrátor
Místo: Poděbrady
Příspěvky: 12436
Reputace:   897 
Web
 

Re: Důkaz - odmocniny

Zdravím, mně připadá nejjednodušší
$\sqrt{15+10\sqrt{2}}-\sqrt{15-10\sqrt{2}}=\sqrt{10+2\sqrt{10}\sqrt5+5}-\sqrt{10-2\sqrt{10}\sqrt5+5}=\sqrt{(\sqrt{10}+\sqrt{5})^2}-\sqrt{(\sqrt{10}-\sqrt{5})^2}=\ldots $
ale jak psal Vanok, tady můžou studenti uplatnit svou fantazii

Pořádek je pro blbce, inteligent zvládá chaos!

Offline

 

#13 29. 08. 2016 17:56 — Editoval vanok (29. 08. 2016 17:57)

vanok
Příspěvky: 14540
Reputace:   742 
 

Re: Důkaz - odmocniny

Pozdravujem ↑ zdenek1:,
Mas uplne pravdu.
A takato varianta by mozno sa mohla pridat do festivalu fantazii.
Napisem len zaciatok.

$\sqrt{15+10\sqrt{2}}-\sqrt{15-10\sqrt{2}}= \sqrt 5\[\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}\]=...$

( prazdniny este vsade neskoncili 😀)

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

 

Stránky: 1

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson