Matematické Fórum

symetrala

Je dána posloupnost funkcí fn = n = 1,2
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-08/02674_shot_160829_223034.png

Jak určit bodovou limitu? Díky

Formol · 29. 08. 2016 19:02 — Editoval Formol (29. 08. 2016 19:02)

↑ symetrala:
Zdravím,
nejlépe bod po bodu ;-) Prostě se při výpočtu na "x" dívej jako na symbol, který tě nemusí nějak zvlášť zajímat, pokud se nedostane např. pod odmocnicnu. Každopádně by to chtělo, kdybys zadání přepisoval alespoň pořádně, když už se bojíš TeXu. Podle toho, co jsi napsal, vypadá tvůj příklad nějak takhle:

, kde a, b jsou nějaké konstanty, které se ti už nevešly do obrázku. Nebo tvoje zadání ve skutečnosti vypadá jinak?

symetrala · 29. 08. 2016 19:09

no vypadalo jak jsem napsal já, ale nejsem si tím uplne jistý...
Vypočítal bys to? Nevím co s tím.

Formol · 29. 08. 2016 19:37

↑ symetrala:
Ne, nevypočítal. Tedy ne že bych to neuměl, ale ze tvého zadání ti dost věcí vypadlo, takže mi není jasné zadání.

symetrala · 29. 08. 2016 19:39

↑ Formol:
ani podle toho zadání , jak jsi ho upravil ty?

Formol · 29. 08. 2016 19:45

↑ symetrala:
Podle toho ano, to je jednoduché. Mimo interval <a,b> je to vždy nula. Uvnitř intervalu se to bude chovat jinak pro x=0 a jinak pro x<>0. Pro x=0 to bude evidentně jedna (tady totiž x nikam limitně nejde, ono je identicky nula). Pro x<>0 je limita

, ve které se můžeš na x dívat jako na symbol nahrazující nějaké konečné nenulové číslo, takže snadno nahlédneš, že v tomto případě bude limita vždy nevlastní (mínus nekonečno). Výsledek pak snadno poskládáš. Uznávám, je to trochu "čuňárna", ale tvé zadání mi nic lepšího ani vzdáleně nepřipomíná...

Eratosthenes · 29. 08. 2016 21:30

ahoj ↑ symetrala:

Co myslíš pojmem "bodová limita?"

symetrala

↑ Eratosthenes:
tak jsem našel přesné zadání, viz první příspěvek.

symetrala · 29. 08. 2016 22:33

↑ Formol:
zadání upraveno:)

jarrro · 30. 08. 2016 10:28

pre x=0 je limita 1, lebo v tom prípade je príslušná postupnosť konštantná 1
keďže sú dané funkcie párne tak bodová limita je tiež párna, teda stačí skúmať kladné x
dané funkcie sú na intervale $$-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}$$ paraboly s vrcholom $\left[0, 1\right]$ a koreňmi $\pm\frac{1}{n}$
pretože $\frac{1}{n}\to 0$ , sa domnievame, že bodová limita v kladnom čísle (z párnosti potom aj v zápornom) je nulová
chceme dokázať, že platí
$\forall x>0\quad \forall \varepsilon >0\quad \exists n_0 \quad \forall n>n_0\quad \left|f_n{$x$}\right|<\varepsilon$
Nech teda $x, \varepsilon$ sú kladné čísla a $n$ prirodzené číslo také, že $\left|f_n{\left(x\right)}\right|\geq\varepsilon$
potom zrejme $x<\frac{1}{n}$ a $1-n^2x^2\geq\varepsilon$ teda $n\leq\frac{\sqrt{1-\varepsilon}}{x}$
teda možno položiť $n_0:=\max{\{\frac{\sqrt{1-\varepsilon}}{x},1\}}$
Ak je $L^1\left[-1, 1\right]$ s integrálnou normou tak vzhľadom na úplnosť stačí skúmať cauchyovskosť
teda skúmať integrály $\int\limits_{-1}^{1}{\left|f_n{\left(x\right)}-f_m{\left(x\right)}\right|\mathrm{d}x}$
a vzhľadom na párnosť iba integrály $\int\limits_{0}^{1}{\left|f_n{\left(x\right)}-f_m{\left(x\right)}\right|\mathrm{d}x}$ nech $n<m$ (keby nie tak ich prehodíme) potom
$\int\limits_{0}^{1}{\left|f_n{\left(x\right)}-f_m{\left(x\right)}\right|\mathrm{d}x}=\int\limits_{0}^{\frac{1}{m}}{\left|f_n{\left(x\right)}-f_m{\left(x\right)}\right|\mathrm{d}x}+\int\limits_{\frac{1}{m}}^{\frac{1}{n}}{\left|f_n{\left(x\right)}-f_m{\left(x\right)}\right|\mathrm{d}x}=\nl =\int\limits_{0}^{\frac{1}{m}}{$m^2-n^2$x^2\mathrm{d}x}+\int\limits_{\frac{1}{m}}^{\frac{1}{n}}{$1-n^2x^2$\mathrm{d}x}=\frac{$m^2-n^2$}{3m^3}+\frac{1}{n}-\frac{n^2}{3n^3}-\frac{1}{m}+\frac{n^2}{3m^3}=\nl =\frac{2}{3n}-\frac{2}{3m}$
z toho vidno, že postupnosť je cauchyovská a teda aj konvergentná
v prípade suprémovej normy postupnosť nie je konvergentná, lebo keby bola tak by bola postupnosť funkcií rovnomerne konvergentná čo nie je lebo bodová limita je nespojitá v nule.
snáď som niečo dôležité neprehliadol

Rumburak

↑ symetrala:

Ahoj.

I. Zjištění bodové limity je velmi jednoduché.

1. Když $x \ne 0$ , potom pro všechna $n \ge \frac{1}{|x|}$ je splněna podmínka $|x| \ge \frac{1}{n}$
a tudíž $f_n(x) = 0$ podle definice funkce $f_n$ , takže zde

$\lim_{n \to \infty}f_n(x) = 0$ .

2. Když $x = 0$ , potom dle definice fce funkce $f_n$ je $f_n (0) = 1$ , a tedy $\lim_{n \to \infty}f_n(0) = 1$ .

II. Funkce tvořící danou posloupnost jsou stejně omezené a tato posloupnost konverguje skoro všude k nule
(na omezeném intervalu). Ke zjištění, zda jde o konvegenci v prostoru $L^1(-1, 1)$ , stačí použít Lebesgueovu
větu (odpověď je positivní).

III. Prostory $L^{\infty}$ jsem už pozapomněl, takže zde raději přenechám pole někomu jinému.

symetrala

↑ Rumburak:
díky, jak jsi zjistil pomocí té lebesgueovi věty, že je to pozitivní?

symetrala · 30. 08. 2016 13:29

↑ jarrro:
díky, ted nevím jestli je jednodušší to tvé řešení či Rumburakovo :D
Kazdopadne moc díky za řešení.

Rumburak

↑ symetrala:

Naše funkce $f_n$ jsou nezáporné z prostoru $L^1(J)$ , kde $J =[-1, 1]$ , mají v $J$ integrabilní majorantu
(např. funkci, která je tam identicky rovna 1) , při čemž posloupnost $(f_n)$ bodově konverguje k funkci $f$ , která je
skoro všude v $J$ rovna funkci $g \equiv 0$ (odlišnost obou funkcí je pouze v bodě 0 , tedy na množině nulové L. míry).
Podle L. věty pak

$\lim_{n\to \infty} \int_J f_n = \int_J \lim_{n\to \infty} f_n = \int_J f = \int_J g = \int_J 0 = 0$ ,

Odtud a vzhledem k nezápornosti funkcí $f_n$ dostáváme

$\lim_{n\to \infty} \int_J |f_n - f| = 0$ ,

což znamená $\lim_{n\to \infty}||f_n - f|| = 0$ (normou míněna norma v $L^1(J)$ ), tedy konvergenci posloupnosti $(f_n)$
v prostoru $L^1(J)$ k funkci $f$ .