Matematické Fórum

Hertas · 26. 08. 2016 19:11 — Editoval Hertas (26. 08. 2016 19:12)

Ahoj, mám zadanou úlohu:

K dané matici $A \in \mathbb{C}^{d \times d}$ najděte $\gamma \in \mathbb{A}$ minimálního stupně n tak, že všechna vlastní čísla i složky vlastních vektorů patři do tělesa $\mathbb{Q}(\gamma)$

kde $\mathbb{A}$ značí množinu všech algebraických čísel.

matice: $A = \left( \begin{matrix} 210 & 464 & 50 & -95 & 44 \\ -461 & -1001 & -107 & 210 & -96\\ 107 & 197 & 511 & -981 & 452 \\ 2169 & 4749 & 511 & -981 & 452 \\ 8444 & 18421 & 1978 & -3827 & 1758 \end{matrix} \right)$

$det(A-tI)=-t^5+4t^4-4t^3+2t^2+4$
a příslušná vlastní čísla jsou:
$t=1-i$
$t=1+i$
$t=\frac{1}{6}(4 + (-1-i\sqrt{3})\sqrt[3]{53-3\sqrt{201}}+i(\sqrt{3}+i)\sqrt[3]{53+3\sqrt{201}})$
$t=\frac{1}{6}(4 + i(i+\sqrt{3})\sqrt[3]{53-3\sqrt{201}}+(-i\sqrt{3}-1)\sqrt[3]{53+3\sqrt{201}})$
$t=\frac{1}{3}(2 +\sqrt[3]{53-3\sqrt{201}}+\sqrt[3]{53+3\sqrt{201}})$

(viva la wolframalpha)

s vlastními vektory už je ale problém, ani wolframalpha je nedokáže vyjádřit exaktně

vím jak najít těleso $\mathbb{Q}(\gamma)$ obsahující všechna vlastní čísl matice, moje otázka zní, jestli existuje např. nějaká věta, pomocí níž bych věděl, že v nalezeném tělese už jsou i všechny složky všech vlastních vektorů

Brano · 30. 08. 2016 10:14 — Editoval Brano (30. 08. 2016 10:39)

urcite tam nebudu vsetky vlastne vektory prisluchajuce nejakemu vlastnemu cislu $\lambda$ lebo tych je nespocitatelne vela a cisel v $Q(\gamma)$ je spocitatelne vela - takze otazka je zrejme, ze ak $\lambda\in Q(\gamma)$ tak ci dokazes najst taky vektor ktory patri do $Q(\gamma)^5$ . no a to podla mna ano, lebo je riesenim rovnice $(A-\lambda I)v=0$ kde $A-\lambda I\in Q(\gamma)^{5\times 5}$ a vies, ze ta rovnica ma riesenie, kvoli nulovemu determinantu - to riesenie mozes hladat Gaussovou eliminaciou, ta ti z telesa $Q(\gamma)$ nevyskoci a ked pride na volbu volnych koeficientov, tak ich zvolis z $Q(\gamma)$ a hotovo - mas parametricky system rieseni v $Q(\gamma)$ t.j. prisluchajuci priestor vlastnych vektorov

mna by skor zaujimalo ako najdes to $\gamma$ aby si vybavil vsetky korene polynomu $\det(A-\lambda I)$

Matematické Fórum

#1 26. 08. 2016 19:11 — Editoval Hertas (26. 08. 2016 19:12)

Vlastní čísla, vektory a nejmenší těleso

#2 30. 08. 2016 10:14 — Editoval Brano (30. 08. 2016 10:39)

Re: Vlastní čísla, vektory a nejmenší těleso

Zápatí