Matematické Fórum

Zlatoočka · 02. 09. 2016 17:54

Zdravím, absolutně si nevím rady s příkladem:
Máme trojúhelník ABC s úhlem u vrcholu A o velikosti 60°. Body M, N, K leží na stranách BC, AC, AB tak, že platí BK = KM= MN= NC. Když platí, že AN = 2AK, najdi velikost úhlů při vrcholech B a C.
Příklad je z loňského ročníku íránské geometrické olympiády. Vzorové řešení jsem nenašla.
Zkoušela jsem dopočty úhlů, ale to se mi pořád jen odečítalo ( tj. vycházelo mi $60 + \omega +120-\omega =180$ )
a když jsem zkoušela sinovou či kosínovou větu tak mi to nešlo dopočítat protože neznám strany.
Neznáte někdo prosím nějaký jiný vzorec či postup?
Předem děkuji:)

zdenek1 · 02. 09. 2016 20:41

↑ Zlatoočka:
tr. AKN je pravoúhlý s pr. úhlem u vrcholu K.
tr. KMN je rovnostranný.

To už by pomalu mohlo stačit.

Zlatoočka · 03. 09. 2016 12:31

↑ zdenek1:
Aha, tak už mi to díky Vaší radě vychází, děkuji moc:) A jestli se mohu ještě zeptat, jak se dá určit, že ANK je pravoúhlý?? Když vím, že je pravoúhlý, tak pak již umím zjisti rovnostrannost trojúhleníku KMN a dopočítat úhly, ale že AKN je pravoúhlý neumím dokázat.

misaH · 03. 09. 2016 13:15 — Editoval misaH (03. 09. 2016 13:16)

↑ Zlatoočka:

No - Zdenek by ti to iste vysvetlil lepšie.

Ja som si situáciu nakreslila, kosínusovou vetou som zistila hodnotu KN a potom som skúsila, či pre AKN neplatí Pytagorova veta.

Platí.

Ale samej by.mi neprišlo na um zisťovať tú pravouhlosť (aspoň myslím :-D)

Rumburak

↑ Zlatoočka:

Ahoj.

Úhly v trojúhelníku $\Delta ABC$ označme klasicky $\alpha = 60^{\circ}, \beta, \gamma$ .
Např. z faktu, že $\Delta BMK$ je rovnoramenný ( $|KB| = |KM|$ ) , plyne

$|\angle BMK| = \beta, |\angle MKB| = 180^{\circ} - 2\beta$ ,

podobně bychom mohli pokračovat dále a sestavit tak rovnice pro velikosti dalších úhlů, které v úloze figurují.