Matematické Fórum

loplpo · 08. 09. 2016 10:43 — Editoval loplpo (08. 09. 2016 10:46)

Mám tento příklad:
$\lim_{x\to1^{-}}\frac{x^{2}+x+1}{(x-1)^{2}}$

Uvažoval jsem takto:
Limita dělení nulou je buď $+\infty$ nebo $-\infty$ nebo limita neexistuje. x se blíží k 1 zleva, dám tedy x hodnotu blízkou 1, př. x = 0.9. V tom případě bude čitatel i jmenovatel kladný ( $\frac{0.81+0.9+1}{0.01}$ ), tudíž celý zlomek je kladný tudíž limita je $+\infty$ .

Ve cvičebnici je odpověd $+\infty$ , stejně tak dle grafu.

Je ale tento můj postup korektní? Neexistuje nějaký lehčí, správnější?...

Freedy · 08. 09. 2016 13:32

Ahoj,

úvaha je správná. Limity však počítáme pomocí různých definicí a vět.
Konkrétně zde by se jednalo o následující větu.

Nechť $a \in \mathbb{R}^*$ , $\lim_{x\to a}f(x) = A$ , $A\in \mathbb{R}^*, A > 0$ , $\lim_{x\to a}g(x) = 0$ .
Jestliže $\exists \delta >0$ takové, že $\forall x\in P(a,\delta )$ platí $g(x) > 0$ , pak $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=+\infty$ .

Samozřejmě tahle věta je pro oboustrannou limitu. Lze ji upravit na jednostrannou a není problém ani tam přidat metrické prostory.
Tato věta se dokazuje (například) pomocí Heineho věty a podobné věty pro posloupnosti.

loplpo · 08. 09. 2016 15:27

Dobře. Jak by tedy vypadal praktický postup krok po kroku u tohoto konkrétního příkladu?

holyduke

↑ loplpo:
Zkus to rozšířit jedničkou ve tvaru $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Rumburak

↑ loplpo:

Ahoj.

Je důležité uvědomit si dvě věci:

1. Jmenovatel zlomku $\frac{x^{2}+x+1}{(x-1)^{2}}$ je v redukovaném okolí bodu $x=1$ kladný a blíží se 0 při $x \to 1$
(a tedy i při $x \to 1_-$ ).

2. Čitatel téhož zlomku je funkce spojitá v bodě 1 a její limitou v tomto bodě je tedy její fumkční hodnota, tj. šíslo 3.

Zadaná limita je tedy typu $\frac{A}{0_+}$ neboli $A \cdot \frac{1}{0_+}$ , čili $A \cdot (+\infty)$ , kde $A$ je kladné a konečné.
(Poznamenejme, že symboly $\frac{A}{0_+}$ , $A \cdot \frac{1}{0_+}$ , $A \cdot (+\infty)$ nepředstavují žádné konkretní algebraické operace.
Jde jen o mnemotechnické symboly znázorňující "typ" limity, nic více.)

Nyní záleží na tom, který z uvedených typů limity máte podchycený nějakou větou.

Viy též kolega ↑ Freedy:.

vlado_bb · 09. 09. 2016 17:58

loplpo napsal(a):
Uvažoval jsem takto:
Limita dělení nulou je buď $+\infty$ nebo $-\infty$ nebo limita neexistuje.

Ide o nespravnu uvahu z viacerych dovodov.

1. Delenie je operacia a ty mas asi na mysli limitu funkcie.
2. Ak si mal na mysli limitu podielu, kde vyraz v menovateli ma v skumanom bode nulovu hodnotu, tak nemas pravdu. Priklad: $\lim_{x \to 0}\frac {3x}{x}=3$ .

Matematické Fórum

#1 08. 09. 2016 10:43 — Editoval loplpo (08. 09. 2016 10:46)

Limita podílu polynomů ve vlastním bodě

#2 08. 09. 2016 13:32

Re: Limita podílu polynomů ve vlastním bodě

#3 08. 09. 2016 15:27

Re: Limita podílu polynomů ve vlastním bodě

#4 08. 09. 2016 20:02 — Editoval holyduke (08. 09. 2016 20:17)

Re: Limita podílu polynomů ve vlastním bodě

#5 09. 09. 2016 09:22 — Editoval Rumburak (10. 09. 2016 10:14)

Re: Limita podílu polynomů ve vlastním bodě

#6 09. 09. 2016 17:58

Re: Limita podílu polynomů ve vlastním bodě

loplpo napsal(a):

Zápatí