Matematické Fórum

Sherlock · 16. 09. 2016 10:28

Zdravím

Nechť G je konečná pologrupa, ve které platí zákon o krácení. Pak G je grupa.

Poradí prosím někdo, s čím začit při dokazování? Důkazy, které obsahují konečnost, mi dělají problém :-)

vanok · 16. 09. 2016 11:09

↑ Sherlock:
Ahoj,
Ako definujes zakon o zjednodusovani?

Sherlock

$(\forall a,b,c\in G)((ab=ac\Rightarrow b=c)\wedge (ba=ca\Rightarrow b=c))$

jarrro · 17. 09. 2016 10:51

je toto správne ? ( naozaj sa pýtam s takouto algebrou som dlho nerobil)
keďže v tej pologrupe je len konečne veľa prvkov, tak pre ľubovoľný prvok je množina $\{ a^{2^i}; i\in\mathbb{N}_0\}$ je konečná
teda existujú také prirodzené k,m, pre ktoré je
$a^{2^k}=a^{2^m}$ potom $a^{2^k-2^m+1}=a$ teda existuje
prirodzené l také, že $a^l=a$ potom $$a^{l-1}$^2=a^{l+l-2}=a^{1+l-2}=a^{l-1}$
teda existuje prvok e taký že $e*e=e$ vzhľadom na krátenie je jediný lebo ak $e*e=e \nl f*f=f$ tak $e*f*f=e*e*f$ teda
$f=e$
navyše pre ľubovoľný prvok a je $a*e=a*e*e$ teda aj $a=a*e$ podobne $e*e*a=e*a$ teda aj $e*a=a$
Teraz ku ľubovoľnému a hľadáme b tak aby
$a*b=e$ z vyššie uvedeného vyplýva že existuje p také, že
$a^{p}=e$ potom $b=a^{p-1}$ teda aj $b*a=a*b=e$

vanok · 17. 09. 2016 13:43

Pozdravujem.
Da sa to dokazat takto.
1) kontrapoze definicie ↑ Sherlock: jasne ukazuje ze kazdy prvok grupy G, sa na nachadza v tabulke kompozicie grupy ( vola sa casto Pytagorova tabulka grupy) najviac jeden krat v kazdom jej riadku ako aj v kazdom stlpci. Akoze G je konecne tak v kazdy z jej prvkov je presne jeden krat v kazdom jej riadku ako aj v kazdom je stlpci.
To umoznuje dokazat, ze ax=b, xa=b, maju jedine riesenie. ( vies ako?)

2) z poslednej vlasnosti sa ukaze ze tvoja structura ma lavy a pravy neutralny prvok.... A tak neutralny prvok.

Potom sa ukaze ze kazdy prvok zo G ma symetricky prvok na lavo a na pravo....

Pozor pre nekonecne structury to neplati.

Matematické Fórum

#1 16. 09. 2016 10:28

Konečná pologrupa

#2 16. 09. 2016 11:09

Re: Konečná pologrupa

#3 16. 09. 2016 19:56 — Editoval Sherlock (16. 09. 2016 19:57)

Re: Konečná pologrupa

#4 17. 09. 2016 10:51

Re: Konečná pologrupa

#5 17. 09. 2016 13:43

Re: Konečná pologrupa

Zápatí