Matematické Fórum

kocourOggy

Zdravím,
z axiomů vektorového prostoru mám dokázat, že platí:
$\forall \alpha\in T , \forall a\in V : (\alpha * a = \theta )\Rightarrow (( \alpha = 0) \vee (a = \theta ) )$

v učebnici je i důkaz:
$necht \ \alpha \neq 0 \ potom\ nutne\ dostavame\ a= \theta \ nebot: \\ a = 1 * a = (\alpha \cdot \alpha ^{-1}) * a = \alpha ^{-1} * \theta = \theta$

Úpravě výrazu rozumím, ale je důkaz kompletní? Neměla by být ještě ošetřena druhá možnost kdy vektor a je různý od nulového vektoru z čehož nutně vyplývá, že alfa se musí rovnat nule? Nebo tato volba je již ošetřena díky sedmému axiomu ∃θ ∈ V, ∀a ∈ V : 0 *a = θ? Intuitivně chápu, že aby byl součin tělesa s vektorem roven nulovému vektoru musí buď těleso být nulové anebo vektor nulový. Důkaz už mi však tak zřejmý není a mám problém s částí, kdy z předpokladu $(\alpha * a = \theta ) \wedge ( a \neq \theta )$ nutně plyne $( \alpha = 0 )$ a já nemůžu přijít na podobnou "úpravu výrazu" jako je u důkazu v učebnici, ale pro druhou část (kdy vyplývá že alfa musí být nula)

VEKTOROVÝ PROSTOR
Nechť je T libovolné těleso, jeho neutrální prvky vůči operacím sčítání, resp. násobení označme 0, resp. 1. Nechť je dále dána neprázdná množina V a dvě zobrazení

⊕ : zobrazení V x V -> V ("sčítání" dvou vektorů)
* : zobrazení T x V -> V ("násobení" vektoru s prvkem tělesa")

1. ∀a, b ∈ V : a ⊕ b = b ⊕ a,
2. ∀a, b, c ∈ V : (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c),
3. ∀α, β ∈ T , ∀a ∈ V : α * (β * a) = (αβ) a,
4. ∀α ∈ T , ∀a, b ∈ V : α * (a ⊕ b) = (α* a) ⊕ (α * b),
5. ∀α, β ∈ T , ∀a ∈ V : (α + β) a = (α * a) ⊕ (β * a),
6. ∀a ∈ V : 1 * a = a,
7. ∃θ ∈ V, ∀a ∈ V : 0 *a = θ.

vanok · 19. 09. 2016 21:43 — Editoval vanok (19. 09. 2016 23:23)

↑ kocourOggy:
Ahoj,
Tvoj dokaz je troska trikovy
Presnejsie povies ak $\alpha =0$ tak nemusim nic dokazovat v takom pripade.
A ak $\alpha \neq 0$ , tak .....to doplnis tvojim dokazom.

Podla toho co piswes tu $(\alpha * a = \theta ) \wedge ( a = \theta )$ ... $( \alpha = 0 )$ ..
To nie je pravda, lebo ak mas $(\alpha * a = \theta ) \wedge ( a = \theta )$ tak to plati pre lubovolne $\alpha$ ( tj. slovne povedane : lubovolny nasobok nuloveho vektoru je nulovy vektor)

Staci?

kocourOggy

Omlouvám se ale v LaTeXovém editoru jsem se přepsal. Překlep $(\alpha * a = \theta ) \wedge (a = \theta)$ jsem v původním příspěvku opravil. Ten předpoklad měl být, když je vektor "a" různý od nulového vektoru, tak poté musí platit, že prvek tělesa alfa musí být roven nule nebo-li když:

$(\alpha * a = \theta )$
$necht \ a \neq \theta \ potom \ nutne \ dostavame \ \alpha = 0 \ nebot...$ a nad neboť... právě tápu. Buď je to v důkazu učebnice vynecháno, protože je to prostě zřejmé (například ve spojitosti se 7.axiomem, i když v takovém případě tam nevidí zřejmou spojitost) anebo nemůžu přijít na úpravu výrazu, která by to ukázala stejně jako je to napsané u důkazu v učebnici pro případ kdy požadujeme aby alfa bylo nenulové.

vanok · 20. 09. 2016 13:21 — Editoval vanok (20. 09. 2016 13:22)

To nie je tazke .
Nech $\alpha\in T$ a $a\in V$ take, ze $\alpha * a = \theta$
Predpoklajme, ze $\alpha \neq 0$
( zatial pisem to iste ako ty.... no ale velmi pozorne...)
Nas ciel je dokazat ze $a=\theta$ .
Akoze $\alpha \neq 0$ , tak je invertibilne (pre nasobenie * v telese T) a jeho inverz oznacme $\alpha^{-1}$
Teraz vynasobme z $\alpha^{-1}$ rovnost $\alpha * a = \theta$
co da ....
Necham ta to dokoncit ( pouzi tvoje axiomy ).
Ak treba este pomoc napis

kocourOggy · 20. 09. 2016 15:27

Já se omlouvám, ale nejspíš si nerozumíme. Ta část, co mi píšete je už dokázána v učebnici.
Část z učebnice ukazuje, že když $\alpha * a = \theta$ a pokud předpokládáme, že $\alpha \neq 0$ nutně platí, že $a = \theta$
Jak správně naznačujete úprava bude vypadat nějak takto:
$\alpha * a = \theta$
$\alpha^{-1} * ( \alpha * a ) = \alpha^{-1} * \theta$
$( \alpha^{-1} \cdot \alpha ) * a = \alpha^{-1} * (0 * a)$
$1 * a = ( \alpha^{-1} \cdot 0 ) * a$
$a = 0 * a$
$a = \theta$

Problém nastává u druhé části kdy $\alpha * a = \theta$ a předpokládáme, že $a \neq \theta$ potom z věty:
$( \alpha * a = \theta ) \Rightarrow ( ( \alpha = 0 ) \vee ( a = \theta ) )$ nutně plyne, že $\alpha = 0$
A právě tato část mi dělá potíže.
Můj pokus o důkaz, respektive o nějakou úpravu končí hned po prvním kroku...

$\alpha * a = \theta$
$\alpha * a = 0 * a$

Co má být další úpravou, aby stejně jako v první části vyplynula nakonec přímá rovnost $\alpha = 0$ ?

vanok · 20. 09. 2016 17:22 — Editoval vanok (20. 09. 2016 17:48)

V dokaze ktory si dobre doplnil sme predpokladali ako prvy mozny pripad, ze $\alpha\neq 0$ .....co dalo.....
Potom je prirodzene urobit tuto uvahu:
Druhy jedinny mozny pripad je $\alpha=0$ , vtedy $0*a=(0+0)*a= 0*a+0*a$ , co da $0*a=\theta$ a to pre lubovolny vektor $a$ , co ti zarucuje ze to je uplne v poriadku, a ti to neda ziadne protirecenie z tvojou situaciou.
A tak to ti da uplny dokaz

Staci?

kocourOggy

↑ vanok:

Raději bych se ještě zeptal... takže důkaz tkví vlastně v tom vyzkoušet všechny možnosti?

$1. \ \alpha = 0, \ a = \theta$
$2. \ \alpha \neq 0, \ a = \theta$
$3. \ \alpha = 0, \ a \neq \theta$
$4. \ \alpha \neq 0, \ a \neq \theta$

4. bod můžeme vyloučit hned kvůli předpokladu $\alpha * a = \theta$ (vlastně i proto, že když je alfa nenulové, tak z důkazu, který je jak v učebnici, tak naznačený od tebe zde, plyne, že vektor "a" musí být nutně nulový).

1. bod platí kvůli axiomu 7 z VP ∃θ ∈ V, ∀a ∈ V : 0 * a = θ
2. bod platí zase kvůli skutečnosti, že alfa násobek nulového vektoru je opět nulový vektor
3. bod platí opět kvůli axiomu 7 z VP ∃θ ∈ V, ∀a ∈ V : 0 * a = θ

Když tedy platí $\alpha * a = \theta$ musí nastat buď bod 1, 2 anebo 3... nebo-li $\alpha = 0 \vee \ a = \theta$

Takhle už je mi to zřejmější mnohem víc. Tedy... i když je to možná trochu moc roztahané, dá se to i takhle napsat že ano?

Jinak děkuju za pomoc! :)

vanok · 20. 09. 2016 20:30

Povedzme jeden mozny dokaz moze byt urobeny ako pises.
Ale staci uvazovat len tie dve moznosti o ktorych som vyssie pisal.
Mozno su aj ine mozne dokazy ale to, ze si o tom rozmyslal ti pomoze dobre pouzivat axiomy v.p.
Dobre pokracovanie a vela uspechov ( v matematike).

Matematické Fórum

#1 19. 09. 2016 20:45 — Editoval kocourOggy (19. 09. 2016 22:40)

lineární algebra (důkaz pomocí axiomů vektorového prostoru)

#2 19. 09. 2016 21:43 — Editoval vanok (19. 09. 2016 23:23)

Re: lineární algebra (důkaz pomocí axiomů vektorového prostoru)

#3 20. 09. 2016 00:19 — Editoval kocourOggy (20. 09. 2016 00:28)

Re: lineární algebra (důkaz pomocí axiomů vektorového prostoru)

#4 20. 09. 2016 13:21 — Editoval vanok (20. 09. 2016 13:22)

Re: lineární algebra (důkaz pomocí axiomů vektorového prostoru)

#5 20. 09. 2016 15:27

Re: lineární algebra (důkaz pomocí axiomů vektorového prostoru)

#6 20. 09. 2016 17:22 — Editoval vanok (20. 09. 2016 17:48)

Re: lineární algebra (důkaz pomocí axiomů vektorového prostoru)

#7 20. 09. 2016 18:53 — Editoval kocourOggy (20. 09. 2016 18:57)

Re: lineární algebra (důkaz pomocí axiomů vektorového prostoru)

#8 20. 09. 2016 20:30

Re: lineární algebra (důkaz pomocí axiomů vektorového prostoru)

Zápatí