Matematické Fórum

slender

Ahoj,
teď se tu trochu potýkám s výpočtem následujícího neurčitého integrálu:

$\int{\frac{1}{e^{2x}-e^x-e^{-x}-1}}dx$

Pokusil jsem se například o substituci $t=e^x$ a dostal jsem se sem:

$\int{\frac{1}{e^{2x}-e^x-e^{-x}-1}}dx=\int{\frac{e^x}{e^x\left(e^{2x}-e^x-e^{-x}-1\right)}}dx=\int{\frac{1}{t^3-t^2-1-t}}dx$

Teď už ale nevím, jak dál... Poradil by mi někdo prosím?

Jj · 23. 09. 2016 16:53 — Editoval Jj (23. 09. 2016 21:19)

↑ slender:

Zdravím.

Je zadání správnĕ opsáno? Řekl bych, že v uvedené formě to nevypadá na "školní" příklad.

Bati · 23. 09. 2016 21:44 — Editoval Bati (23. 09. 2016 21:45)

Zdravím ↑ Jj:, ↑ slender:,
školní příklad nebo ne, poslední integrál je integrál z racionální funkce a ten umíme vždy spočítat rozkladem na parciální zlomky. Zde konkrétně můžeme nahlédnout, že jmenovatel má právě jeden reálný kořen $r$ , a tak integrál půjde napsat jako
$\int$\frac{A}{t-r}+\frac{Bt+C}{t^2+at+b}$\mathrm{d}t$ ,
pro nějaké $A,B,C,a,b\in\mathbb{R}$ splňující $a^2<4b$ . Dál by to mělo být jasné.

slender

Zdravím, ↑ Jj: má pravdu, špatně jsem to opsal. Každopádně děkuji ↑ Bati: za radu, díky tomu jsem se posunul trochu dál.

Počítal jsem podle opraveného zadání:

$\int{\frac{1}{e^{2x}-e^x+e^{-x}-1}}dx$

A zatím jsem udělal toto:
1) Substitucí $t=e^x$ jsem získal následující tvar:
$\int{\frac{1}{e^{2x}-e^x+e^{-x}-1}}dx=\int{\frac{e^x}{e^x\left(e^{2x}-e^x+e^{-x}-1\right)}}dx=\int{\frac{1}{t^3-t^2+1-t}}dx$

2) Vypočítal jsem kořeny polynomu $t^3-t^2-t+1$ , vyšel mi dvojnásobný kořen $t=1$ a jednonásobný (jednoduchý??) $t=-1$ .

3) Zapsal jsem výraz jako parciální zlomky:
$\frac{1}{(t-1)^2(t+1)}=\frac{A}{(t-1)}+\frac{B}{(t-1)^2}+\frac{C}{(t+1)}$

4) Použil jsem „násobicí metodu“:
$1=A(t+1)(t-1)+B(t+1)+C(t-1)^2\\ 1=(A+B)t^2+(B-2C)t+(-A+B+C)$

a získal tak následující tři rovnosti (levou stranu rovnice (1) jsem pomyslně převedl na tvar $0p^2+0p+1$ ):
$A+B=0\\ B-2C=0\\ -A+B+C=1$

Dopočítal jsem hodnoty A, B, C:
$A=-\frac{2}{5}\\ B=\frac{2}{5}\\ C=\frac{1}{5}$

5) Hodnoty jsem dosadil do výrazu s parciálními zlomky:
$\frac{1}{(t-1)^2(t+1)}=-\frac{2}{5(t-1)}+\frac{2}{5(t-1)^2}+\frac{1}{5(t+1)}$

Zřejmě jsem ale někde udělal chybu, protože například tento kalkulátor tvrdí, že mi mělo vyjít
$\frac{1}{(t-1)^2(t+1)}=-\frac{1}{4(t-1)}+\frac{1}{2(t-1)^2}+\frac{1}{4(t+1)}$

Když to porovnávám, zřejmě jsem udělal chybu někde v bodě 4, nejsem si ale jist, kde, protože hodnoty A, B, C mi už několikrát vyšly stejně.

Vidíte někdo prosím chybu?