Matematické Fórum

vytautas · 26. 09. 2016 21:13

zdravím

potreboval by som pomoc s dôkazom.

mám množinu $s$ všetkých postupností reálnych čísel a funkciu $d(x,y)= \sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{2^k} \frac{ |x_k-y_k|}{1+|x_k-y_k|}$ , kde $x=\{x_k\}^{\infty}_{k=1}$ , podobne pre $y$ .

potrebujem dokázať trojuholníkovú nerovnosť, teda ak $x,y,z \in s$ , tak $d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$

moja myšlienka bola odhadovať člen $\frac{1}{2^k} \frac{ |x_k-y_k|}{1+|x_k-y_k|}$ zhora, no nepohol som sa (neviem ako )

za každú pomoc ďakujem.

vanok · 26. 09. 2016 22:44 — Editoval vanok (26. 09. 2016 22:45)

Ahoj,
Ukaz najprv, ze
Ak d(x,y ) je distance na R tak aj $\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$ je tiez distance na R.

vytautas · 27. 09. 2016 19:07

↑ vanok:

podobne, prvé dve vlastnosti metriky sú jasné, no s treťou je problém

zobral som to z tejto strany $\frac{d(x,z)}{1+d(x,z)} \le \frac{d(x,y)}{1+d(x,z)} + \frac{d(y,z)}{1+d(x,z)}$

lenže keď by som použil tú istú vlastnosť aj v menovateli , tak by som dostal opačnú nerovnosť, akú potrebujem a nič iné mi nenapadá.

vanok · 27. 09. 2016 22:32 — Editoval vanok (28. 09. 2016 10:08)

Najlepsie je asi pouzit znamu vlasnost
Nech (X,d) je metricky priestor a nech $\varphi: R_+ \rightarrow R_+$ stupajuca ( croissante) sous-additivna a nulova len v 0: $( \varphi (u)=0)\Leftrightarrow ( u=0)$
a $\forall u,v \in R_+,\varphi (u) \leq \varphi(u+v) \leq \varphi(u)+\varphi(v)$
Potom $\varphi o d$ je tiez distance na X.

Toto iste vies dokazat.

No ale aj priamy dokaz tvojej vlasnosti je mozny, a pochopitelne sa mozes inspirovat predoslou vladnostou.
Édit. Co mozes konstatovat o $\frac u{1+u}$ ?

Eratosthenes · 28. 09. 2016 09:28

↑ vytautas:

pozor, pravou stranu nerovnosti máš špatně.

vanok · 28. 09. 2016 14:34 — Editoval vanok (29. 09. 2016 06:58)

Ahoj,
Priidam ti trochu podrobnejsi navod. ... ide opriamy dokaz ale niektore uvahy z neho ti umoznia dokazat aj vlastnost co som napisal vyssie.

Lahko ukazes ze $f$ taka ze $f(u)=\frac u{1+u}=1-\frac 1{u+1}$ je rastuca ( croissante) na $R_+$
(Vdaka variacii f, lebo f'= ???? a $f(0)=0$ )
Co da $f(x+y) \leq f(x)+f(y)$ ?
Poloz
$d'(x,y)= \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$
Over axiomy metriky pre d'

Co sa tyka tretiej axiome, vyuzi, ze $\frac {d(x,y)}{1+d(x,y)+d(y,z)} \leq d'(x,y)$ ako aj podobnu relaciu pre $d'(y,z)$ a tiez pouzi, ze $d'(x,z) \leq \frac {d(x,y)+d((y,z)}{1+d(x,y)+d((y,z)}$
(Napis preco platia tie nerovnosti)
Napis nam tu uplne cely dokaz, takto budeme isty ze ho vies dokonale urobit.
A potom mozes lahko doriesit tvoj povodny problem.