Matematické Fórum

patrik7741 · 29. 09. 2016 08:44

Zdravím, potreboval by som vysvetliť príklad. Máme nájsť minimum funkcie $3x^{2}-12xy+y^{4}$ .
Ale chcel by som ho nájsť pomocou derivácii. Ako sa postupuje v takomto prípade keď tam máme aj x aj y??
výsledok: minimum pre x=4 y=2, minimum 32

Honzc · 29. 09. 2016 10:56 — Editoval Honzc (29. 09. 2016 14:17)

↑ patrik7741:
Pokud máš najít extrém na křivce dané implicitně: $F(x,y)=3x^{2}-12xy+y^{4}=0$ (není to plocha $z=3x^{2}-12xy+y^{4}$ )
Pro derivaci implicitní fce platí: $y'=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}$
Pozn.: Jestliže je to křivka daná imlicitně, pak tvůj výsledek je špatně.
Správně:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Jestli je to: $z=3x^{2}-12xy+y^{4}$
pak spočítáš parciální derivace $\frac{\partial z}{\partial x}=0,\frac{\partial z}{\partial y}=0$
a dále
$A=\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}(x_{0},y_{0})$
$B=\frac{\partial^{2} z}{\partial x}\frac{}{{\partial y}}(x_{0},y_{0})$
$C=\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}(x_{0},y_{0})$

Ostré lokální minimum nastává, když $AC-B^{2}>0 \,\wedge A>0$

Vychází dva body: $(-2\sqrt{6},-\sqrt{6},-36)\,\text{a}\,(2\sqrt{6},\sqrt{6},-36)$

Plocha vypadá přibližně takto:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

patrik7741 · 29. 09. 2016 12:56

↑ Honzc: Ďakujem, :) zabudol som podotknúť, že x, y su nezáporné celé čísla

Matematické Fórum

#1 29. 09. 2016 08:44

Minimum funkcie

#2 29. 09. 2016 10:56 — Editoval Honzc (29. 09. 2016 14:17)

Re: Minimum funkcie

#3 29. 09. 2016 12:56

Re: Minimum funkcie

Zápatí