Matematické Fórum

Hronsky111

Dobrý deň, mam za úlohu dokázať, že táto konštrukcia 5-uholníka https://sk.wikipedia.org/wiki/P%C3%A4%C … struct.gif
je naozaj konštrukcia 5-uholníka. Ako na to?

Eratosthenes · 30. 09. 2016 13:20

ahoj ↑ Hronsky111:

v konstrukci se dá pracovat s nějakými pravoúhlými a rovnoramennými trojúhelníky. Vše bych směřoval k výpočtu vnitřního úhlu 72 stupňů.

Hronsky111 · 30. 09. 2016 13:21

aha a ako postupovat pri konstrukcii dokazu?

Rumburak

↑ Hronsky111:
Ahoj. Připadá mi, že ta konstrukce není popsána dostatečně přesně. Například je-li jedním z jejích kroků
vyznačit na určité úsečce její střed, mělo by to tam být výslovně uvedeno, že vyznačený bod má být středem úsečky,
a ne nechat na čtenáři, aby si to domýšlel,

Hronsky111 · 30. 09. 2016 13:28

To ano, samotna ilustracia konstrukcie mozno nie je jednoznacna, kazdopadne - ide naozaj o konstrukciu 5-uholnika a ja to mam dokazat, len neviem ako.

Rumburak

↑ Hronsky111:

Formálně vzato: výsledek je 5-ti úhalník, takže jde o konstrukci 5-ti úhelníka, jak Tebou formulovaná úloha
požadovala zjistit..

Pokud by nás (nad rámec zformulované úlohy) zajímalo, zda jde o 5-ti úhelník pravidelný:

Dejme tomu, že základní kružnice (má-li to být kružnice), do níž pětiúhelník vpisujeme , má jednotkový poloměr.
Pak je potřeba

1) zjistit, jakou délku strany má pravidelný 5-ti úhelník vepsaný do jednotkové kružnice,
2) zjistit délku strany, která vyšla uvedenou konstrukcí,
3) oba tyto výsledky porovnat.

Hronsky111 · 30. 09. 2016 13:55

Dlzka strany je a.

Hronsky111 · 30. 09. 2016 14:18

ja som sa dopracoval po ten krok ze viem vypocitat z pytagorovej vety dlzku tej prepony toho pravouhleho trojuholnika, ktory nam tam vznikne. Obrazok: http://www.imageworld.sk/images/xfcjan6 … 4w2nu5.png
Uz mi chybaju iba dva kroky, ako vyuzit tu vlastnost, ze ten uhol toho trojuholnika rozdelime na dva rovnake?

misaH · 30. 09. 2016 14:19

↑ Hronsky111:

To je len označenie. V jednotková kružnici sa dá urobiť výpočet.

Hronsky111 · 30. 09. 2016 14:20

tak ako postupovat dalej?

vanok · 30. 09. 2016 16:25

Poznamka.
Pokial nevysvetlis presne co rozumies pod pojmom konstrukcia.( ak ide o euklidovsku konstrukciu, tak len pravidko bez oznaceni a kruzitko su jedine povolene nastroje)
Obrazok ako tu ↑ Hronsky111: je tazko povazovat za popis nejakej konstrukcie!

Hronsky111 · 30. 09. 2016 16:32

konstrukcia pravidkom a kruzidkom ano.

vanok · 30. 09. 2016 16:40

↑ Hronsky111:,
Tak treba popisat etapu po étape.

Hronsky111

neviem ako sa mam pohnut z miesta .. tam uz je potom na rade zapocitat nejakym sposobom to rozdelenie toho uhla ktory delime priamkou na dva zhodne a to neviem ako dalej s tym pracovat

Bati · 30. 09. 2016 17:14

Ahoj ↑ Hronsky111:.
V rychlosti:
$R$ poloměr kružnice
$\alpha$ úhel, který se půlí
$\beta$ úhel ve středu, který má být 72 st.
$h$ vzdálenost sestrojené úsečky od středu

$\tan{\alpha}=\frac{R}{\frac{R}2}=2\nl \Rightarrow \frac{\sqrt5-1}2=\tan{\frac{\alpha}2}=\frac{h}{\frac{R}2}=\frac{2h}R\nl \Rightarrow c:=\cos{\beta}=\frac hR=\frac{\sqrt5-1}4\nl \Rightarrow s:=\sin{\beta}=\sqrt{\frac{5+\sqrt5}8}$

$\cos5\beta=Re(e^{i5\beta})=Re((\cos\beta+i\sin\beta)^5)=c^5-10c^3s^2+5cs^4=\ldots=1\nl \Rightarrow \beta=\tfrac25\pi=72°$ .

Hronsky111

preco 72? vnutorny uhol 5-uholnika je 108, viem ze 360/5 je 72 ale uhol pri vrchole je 108 predsa

misaH · 30. 09. 2016 17:19 — Editoval misaH (30. 09. 2016 17:20)

↑ Hronsky111:

72 je pri strede opísanej kružnice.

Máš to v popise od kolegu napísané.

Hronsky111 · 30. 09. 2016 17:22

no dobre a toto je dokaz tej konstrukcie z wiki?

Bati · 30. 09. 2016 23:23

↑ Hronsky111:
Jo.

Hronsky111 · 01. 10. 2016 08:07

preco v tom druhom kroku je $Re(e^i5\beta )$ ?

Bati · 01. 10. 2016 09:53

↑ Hronsky111:
Je tam $e^{i5\beta}$ , všechno je to v exponentu, Re znamená reálnou část komplexního čísla, viz Moivreova věta.
Smyslem toho kroku je nějak vyjádřit $\cos{5\beta}$ pomocí $\cos\beta$ a $\sin\beta$ - šlo by to i pomocí gon. vzorců, ale tohle je rychlejší.

Matematické Fórum

#1 30. 09. 2016 12:55 — Editoval Hronsky111 (30. 09. 2016 13:03)

konštrukcia 5-uholnika - dokaz

#2 30. 09. 2016 13:20

Re: konštrukcia 5-uholnika - dokaz

#3 30. 09. 2016 13:21

Re: konštrukcia 5-uholnika - dokaz

#4 30. 09. 2016 13:24 — Editoval Rumburak (30. 09. 2016 13:52)

Re: konštrukcia 5-uholnika - dokaz

#5 30. 09. 2016 13:28

Re: konštrukcia 5-uholnika - dokaz

#6 30. 09. 2016 13:47 — Editoval Rumburak (30. 09. 2016 13:53)

Re: konštrukcia 5-uholnika - dokaz

#7 30. 09. 2016 13:55

Re: konštrukcia 5-uholnika - dokaz

#8 30. 09. 2016 14:18

Re: konštrukcia 5-uholnika - dokaz

#9 30. 09. 2016 14:19

Re: konštrukcia 5-uholnika - dokaz

#10 30. 09. 2016 14:20

Re: konštrukcia 5-uholnika - dokaz

#11 30. 09. 2016 16:25

Re: konštrukcia 5-uholnika - dokaz

#12 30. 09. 2016 16:32

Re: konštrukcia 5-uholnika - dokaz

#13 30. 09. 2016 16:40

Re: konštrukcia 5-uholnika - dokaz

#14 30. 09. 2016 16:47 — Editoval Hronsky111 (30. 09. 2016 16:47)

Re: konštrukcia 5-uholnika - dokaz

#15 30. 09. 2016 17:14

Re: konštrukcia 5-uholnika - dokaz

#16 30. 09. 2016 17:18 — Editoval Hronsky111 (30. 09. 2016 17:19)

Re: konštrukcia 5-uholnika - dokaz

#17 30. 09. 2016 17:19 — Editoval misaH (30. 09. 2016 17:20)

Re: konštrukcia 5-uholnika - dokaz

#18 30. 09. 2016 17:22

Re: konštrukcia 5-uholnika - dokaz

#19 30. 09. 2016 23:23

Re: konštrukcia 5-uholnika - dokaz

#20 01. 10. 2016 08:07

Re: konštrukcia 5-uholnika - dokaz

#21 01. 10. 2016 09:53

Re: konštrukcia 5-uholnika - dokaz

Zápatí