Matematické Fórum

Raubbbyy · 27. 09. 2016 14:56

dobry den, mam topologiu
$\tau = \{\emptyset ,\{a,b,c\},\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\}\}$
teda diskretnu topologiu
hausdorffov priestor je taky, ze pre kazde dva rozne prvky existuje okoli take, ze ich prienik je prazdna mnozina.
topologia, ktoru som zadal je hausdorffova, ale ja nejak nechapem preco, kedze mozem najst prvky napr.
$\{a,b\}\bigcap_{}^{}\{a,c\} = \{a\}$ a to predsa nieje prazdna mnozina. ale v definicii je napisane pre kazde dva rozne prvky. Vie mi to prosim niekto vysvetlit ?

Stýv · 27. 09. 2016 15:29

Prvky jsou a, b a c.

Raubbbyy · 27. 09. 2016 15:34

a ked mam topologiu
$\tau = \{\emptyset ,\{a,b,c\}\}$ ?

Stýv · 27. 09. 2016 15:47

Tak nebude Hausdorffuv.

Raubbbyy · 27. 09. 2016 15:56

a jak sa to pozna, ked v tej topologii niesu tie prvky a,b,c ? keby som mal napr topologiu
$\tau = \{\emptyset ,\{a,b,c\},\{a\}\}$ tak to nieje hausdorffov priestor ale keby som mal
$\tau = \{\emptyset ,\{a,b,c\},\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$ tak uz to hausdorffov priestor je ?

Rumburak

↑ Raubbbyy:
Ahoj.
Zde jde o to, že (v příkladu z úvodního příspěvku) už $\{a\}$ je okolí bodu $a$ a obdobně $\{b\}$ je okolí bodu $b$ ,
takže pokud $a \ne b$ , potom $\{a\} \cap \{b\} = \emptyset$ a podmínka z def. HP je pro tato okolí splněna.

Raubbbyy · 27. 09. 2016 16:32

to chapem, ale ked mam napr $\tau = \{\emptyset ,\{a,b,c\}\}$ tak to mam chapat tak, ze to neni HP preto lebo tie body a,b,c ziadne okolie nemaju ? alebo preco to neni HP ?

Stýv · 27. 09. 2016 18:52

Maji jedine okoli, a to cely ten prostor.

Raubbbyy · 28. 09. 2016 10:30

dobre, a ked mam $\tau = \{\emptyset ,\{a,b,c\},\{a\}\}$ tak ma dve okoli nie ? a ich prienik je nenulovy, takze to neni HP ? Prepacte za mozno blbe otazky ale nejak to neviem cele pochopit.

jarrro · 28. 09. 2016 12:31 — Editoval jarrro (28. 09. 2016 12:33)

↑ Raubbbyy:V prípade $\tau = \{\emptyset ,\{a,b,c\},\{a\}\}$ tiež nie je Hausdorffov, ale nie preto, že $a$ má nedisjunktné okolia, ale preto ,lebo každé okolie $b$ je nedisjunktné s každým okolím $c$ (jediné okolie $b$ aj $c$ je totiž celý nosič topologického priestoru). Ako písal Stýv, ten všeobecný kvantifikátor je pre prvky nosiča (v tomto prípade tie prvky sú $a, b, c$ ),nie topológie (tam stačí existencia. Nikde sa nepíše, že každé okolia rôznych bodov musia mať prázdny prienik, rovnako ako sa nikde nepíše, že každé rôzne okolia jedného musia mať neprázdny prienik.). Treba poriadne čítať definície.

Raubbbyy · 28. 09. 2016 16:04

↑ jarrro: je spravne ak v tomto pripade poviem, ze prvky a,b,c maju jedno spolocne okolie, ale prvok a ma zaroven jedno disjunktne okolie s prvkami b a c, zaroven ale prvok b nema disjunktne okolie s prvkom c a naopak, takze to nieje HP ?

jarrro · 28. 09. 2016 18:51

↑ Raubbbyy:tak ako si to napísal to (podľa mňa) nemá zmysel

Raubbbyy · 29. 09. 2016 22:43

↑ jarrro:hmm tak ja uz fakt neviem :D topologia asi nieje pre kazdeho ale potrebujem to pochopit aby so sa mohol vrhnut na variety. Nemate aspon nejake dobre skripta aj s prikladami kde by sa to dalo pochopit ?

Rumburak · 30. 09. 2016 10:41

↑ Raubbbyy:

Netvrdím, že topologie je nenáročná, ale u těchto celkem jednoduchých příkladů jde v podstatě jen o to
znát přesně definice a umět s nimi pracovat.

Uvažujme tedy prostor $X = \{a, b, c\}$ s topologií $\tau = \{\emptyset ,\{a,b,c\},\{a\}\}$ . Má-li jít o H-prostor,
musí pro LIBOVOLNÉ dva NAVZÁJEM RŮZNÉ body $x, y \in X$ existovat jejich okolí $U(x), U(y)$ taková, že
$U(x) \cap U(y) = \emptyset$ (to praví definice H-prostoru) . Když zde ale zvolíme $x=b , y = c$ , pak
jediným existujícím okolím bodu $b$ je $\{a,b,c\}$ , což je ale zároveň jediné existující okolí bodu $c$ .
Průnik těchto svou okolí bodů $b, c$ je však neprázdný a jiná jejich okolí neexistují. Proto uvažovaný
topologický prostor $(X, \tau)$ není Hausdorffův.

vanok · 30. 09. 2016 10:57

Ahoj ↑ Raubbbyy:,↑ Rumburak:,
Dobra pomoc, najmä pokial ide o ( male) konecne topologie je pouzitie grafickej representacie.

Raubbbyy

↑ Rumburak: a pokial mam topologiu
$\tau = \{\emptyset ,\{a,b,c\},\{a,b\},\{b,c\},\{b\}\}$ to by tiez nemal byt HP nie ? ale mam pocit, ze sme si hovorili, ze to je HP (nemam momentalne pri sebe zapisky)

Raubbbyy · 02. 10. 2016 12:23

↑ vanok: ako by sa dala robit graficka reprezentacia ? Tak, ze si nakreslim 3 body a a pospajam tie body, ktore vystupuju v topologii nejakymi koleckami (okoliami), a pokial budu mat vsetky tie body aj nejake vlastne kolecka len okolo seba, tak je to HP ?

vanok · 02. 10. 2016 13:01 — Editoval vanok (02. 10. 2016 13:04)

↑ Raubbbyy:, and
Treba respektovat inkluzie a znazornit vsetki prvky topologie.
A napr. farebnne oznacis jedno disjunkne okolie ( ak existuje ; to staci) pre kazdu dvojicu.
Napr. Over to tu ↑ Raubbbyy:.

Raubbbyy · 02. 10. 2016 13:45

mne to vychadza ze to nieje HP pretoze jedine disjunktne okolie ma bod b
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-10/08692_topologie.jpg

vanok · 02. 10. 2016 13:53

↑ Raubbbyy:
Presnejsie, treba dat argumentaciu pre nejaku dvojicu co nema disjunktne okolia (alebo co ma) .... ak ti to pomoze take vidiet, tym lepsie.

jarrro · 02. 10. 2016 14:11

Žiadny prvok nemôže mať disjunktné okolie lebo pojem disjunktné okolie bez spomenutia s čím je disjunktné nemá zmysel. Tá topológia nie je Hausdorffova lebo okolia prvku $a$ sú iba $\{a, b, c\}$ a $\{ a, b\}$ a okolia bodu $c$ sú iba $\{a, b, c\}$ a $\{b, c\}$ teda bod $b$ patrí do každého okolia bodu $a$ aj do každého okolia bodu $c$ . Teda body $a$ a $c$ sa nedajú "obaliť" svojimi okoliami tak aby tie okolia boli navzájom disjunktné , pretože vždy v takých obaľujúcich okoliach bude aspoň prvok $b$ .

Raubbbyy · 02. 10. 2016 14:27

aha, myslim, ze uz tomu trochu zacinam rozumiet, velmi vam vsetkym dakujem, moc ste mi pomohli davam + :)

Rumburak · 03. 10. 2016 09:21

↑ Raubbbyy:

Tato topologie $\tau = \{\emptyset ,\{a,b,c\},\{a,b\},\{b,c\},\{b\}\}$ NEDÁVÁ H-prostor, protože například
všechny neprázdné ot. množiny obsahují bod $b$ , takže zajistit, aby např. $U(a) \cap U(b) = \emptyset$ , nelze.

Raubbbyy

↑ Rumburak: a je pravda, ze tiez nejde zariadit, aby $U(a)\bigcap_{}^{}U(c) = \emptyset$ ? tak isto s b,c.

edit, aha teraz mi vlastne doslo ze tam neni co zariadovat, kedze mnoziny, ktore obsahuju bod a alebo c su len dve :D

Matematické Fórum

#1 27. 09. 2016 14:56

hausdorffov priestor

#2 27. 09. 2016 15:29

Re: hausdorffov priestor

#3 27. 09. 2016 15:34

Re: hausdorffov priestor

#4 27. 09. 2016 15:47

Re: hausdorffov priestor

#5 27. 09. 2016 15:56

Re: hausdorffov priestor

#6 27. 09. 2016 15:58 — Editoval Rumburak (27. 09. 2016 16:18)

Re: hausdorffov priestor

#7 27. 09. 2016 16:32

Re: hausdorffov priestor

#8 27. 09. 2016 18:52

Re: hausdorffov priestor

#9 28. 09. 2016 10:30

Re: hausdorffov priestor

#10 28. 09. 2016 12:31 — Editoval jarrro (28. 09. 2016 12:33)

Re: hausdorffov priestor

#11 28. 09. 2016 16:04

Re: hausdorffov priestor

#12 28. 09. 2016 18:51

Re: hausdorffov priestor

#13 29. 09. 2016 22:43

Re: hausdorffov priestor

#14 30. 09. 2016 10:41

Re: hausdorffov priestor

#15 30. 09. 2016 10:57

Re: hausdorffov priestor

#16 02. 10. 2016 12:13 — Editoval Raubbbyy (02. 10. 2016 12:14)

Re: hausdorffov priestor

#17 02. 10. 2016 12:23

Re: hausdorffov priestor

#18 02. 10. 2016 13:01 — Editoval vanok (02. 10. 2016 13:04)

Re: hausdorffov priestor

#19 02. 10. 2016 13:45

Re: hausdorffov priestor

#20 02. 10. 2016 13:53

Re: hausdorffov priestor

#21 02. 10. 2016 14:11

Re: hausdorffov priestor

#22 02. 10. 2016 14:27

Re: hausdorffov priestor

#23 03. 10. 2016 09:21

Re: hausdorffov priestor

#24 03. 10. 2016 12:09 — Editoval Raubbbyy (03. 10. 2016 12:13)

Re: hausdorffov priestor

Zápatí