Matematické Fórum

O.o · 30. 04. 2009 19:37 — Editoval O.o (30. 04. 2009 20:03)

Ahoj -),

mohl bych znovu poprosit o pomoc. Nějak nevím, jak pořádně upravovat některé limity (vlastně téměř všechny -)).

Mám tu příklad:

$f(x, \ y)=\ln(3^x+y^2) \nl A=(0; \ 0) \nl \vec{v}=(-2; \ 1) \nl \text{Ted mam derivovat f(x, y) v bode A ve smeru vektoru \vec{v}.} \nl \ \nl D_f(A, \ \vec{v_0} = {\lim}\limits_{t \to 0} \frac{f(A+\vec{v_0}t)-f(A)}{t} \nl \text{Nejprve normuji vektor \vec{v} na jednotkovy \vec{v_0}.} \nl \ \nl ||\vec{v}||=\sqrt{5} \nl \vec{v_0}=(\frac{-2}{\sqrt{5}}; \ \frac{1}{\sqrt{5}}) \nl \text{Dosadim} \nl \ \nl \ \nl D_f(A, \ \vec{v_0} = {\lim}\limits_{t \to 0} \frac{f(A+\vec{v_0}t)-f(A)}{t} = {\lim}\limits_{t \to 0} \frac{ln \left( 3^{\frac{-2}{\sqrt{5}}t}+(\frac{1}{\sqrt{5}}t)^2 \right) -0}{t}={\lim}\limits_{t \to 0} \frac{ln \left( 3^{\frac{-2}{\sqrt{5}}t}+(\frac{1}{\sqrt{5}}t)^2 \right)}{t}$

Teď si nevím rady, zkoušel jsem argument logaritmu převést na společný jmenovatel (abych dostal podíl v argumentu logaritmu) z toho jsem dostal rozdíl logaritmů, ... (viz. níže).

${\lim}\limits_{t \to 0} \frac{\ln \left ( \frac{5+t^{2} \cdot 3^{\frac{2t}{\sqrt{3}}}}{5 \cdot 3^{\frac{2t}{\sqrt{3}}}} \right ) }{t}= {\lim}\limits_{t \to 0} \frac{\ln \left( 5+t^{2} \cdot 3^{\frac{2t}{\sqrt{5}}} \right) -\ln(5)-\frac{2t}{\sqrt{5}}\ln(3)}{t}$

Jednoduše mi ty úpravy nikam dál moc nevedly.

Prosím, jestli by mi někdo neporadil, jak na takovou limitu (?), bez l'Hospitale se k výsledku nedokáži dopracovat.

Děkuji..

EDIT: Doufám, že už jsem ten texový zápis upravil, tak jak to má být.

kaja(z_hajovny)

${\lim}\limits_{t \to 0} \frac{\ln \left( 5+t^{2} \cdot 3^{\frac{2t}{\sqrt{5}}} \right) -\ln(5)-\frac{2t}{\sqrt{5}}\ln(3)}{t} = {\lim}\limits_{t \to 0} \frac{\ln \left( 1+\frac 15 \cdot t^{2} \cdot 3^{\frac{2t}{\sqrt{5}}} \right)}{t} -\frac{2}{\sqrt{5}}\ln(3) = {\lim}\limits_{t \to 0} \left[\frac{\ln \left( 1+\frac 15 \cdot t^{2} \cdot 3^{\frac{2t}{\sqrt{5}}} \right)}{\frac 15 t^2 3^{\frac{2t}{\sqrt 5}}}\;\cdot\;\frac 15 t 3^{\frac{2t}{\sqrt 5}} \right]-\frac{2}{\sqrt{5}}\ln(3)$
v zavorce je soucin 1 krat nula (pouzivam limitu lim (ln(x+1)/x) =1 pro x jdouci k nule a musel jsem vpasovavat 1+"neco co jde k nule" do citatele a "to co jde nahore k nule" do jmenovatele)

Ty uvodni upravy jsem nekontroloval, jenom jsempokracoval ve vypoctu, takze "no warranty".

O.o · 30. 04. 2009 22:43 — Editoval O.o (30. 04. 2009 22:43)

↑ kaja(z_hajovny):

Ahoj -),

ještě jednou děkuji, výsledek za závorkou je uvedený i ve výsledcích. Někdy se asi budu muset podívat po takových těch známějších limitách, abych se tu mohl ptát i na jiné příklady -).

Neznal bys, prosím, ty nebo někdo jiný nějaký odkaz, kde bych mohl nastudovat podobné limity (podobné té, kterou jsi použil s tím logaritmem)?

Díky za pomoc =).

jelena · 01. 05. 2009 00:45

↑ O.o:

Zdravim :-)

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=3816 - zde v příspěvku 25 jiný kaja povídá, že umí "замечательный логарифмический предел" - zřejmě odkoukal zde: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0% … 0%BB%D1%8B

Určitě to byl jiný kaja - protože se vyjadřuje nepříliš lichotivě o technikach.

Jinak sbírku pozoruhodných limit uvádí třeba Bartsch "Matematické vzorce" (Bartsche ale priliš nemá rád Marian), je to stejný rozsah, jak v mém odkazu.

Děkuji za uklid :-)

O.o · 01. 05. 2009 10:27 — Editoval O.o (01. 05. 2009 10:30)

↑ jelena:

Také zdravím -),

děkuji za odkaz, snad se mi podaří z toho něco využít u dalších příkladů. Po sbírce se podívám, jak bude čas..

Zatím se loučím letím se někam sportovně vyžít =).

To jelena: K poznámce z jiného tématu: Ráno je dobré i v šest hodin nebo kolik to bylo ;-)

Matematické Fórum

#1 30. 04. 2009 19:37 — Editoval O.o (30. 04. 2009 20:03)

Derivace f(x,y) ve směru (podle definice).

#2 30. 04. 2009 21:43 — Editoval kaja(z_hajovny) (30. 04. 2009 21:49)

Re: Derivace f(x,y) ve směru (podle definice).

#3 30. 04. 2009 22:43 — Editoval O.o (30. 04. 2009 22:43)

Re: Derivace f(x,y) ve směru (podle definice).

#4 01. 05. 2009 00:45

Re: Derivace f(x,y) ve směru (podle definice).

#5 01. 05. 2009 10:27 — Editoval O.o (01. 05. 2009 10:30)

Re: Derivace f(x,y) ve směru (podle definice).

Zápatí