Matematické Fórum

mefistofelle · 04. 10. 2016 15:56

Zdravím, potřeboval bych vysvětlit tento příklad, krok po kroku, abych si celou indukci ujasnil.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-10/89291_2.PNG

Postupem takovým, že nejdřív položím n=1, následně n=k a nakonec n=k+1.¨
Nějak mi 2. krok vychází divně, takže bych se radši poradil, abych si celou věc ujasnil.

Předem díky.

jarrro · 04. 10. 2016 16:38

ak to platí pre n=k tak tak pre n=k+1 dostaneš
$1+3+5+\cdots +(2k+1)+$2k+3$=$k+1$^2+2k+3=k^2+4k+4=$k+2$^2$

mefistofelle · 04. 10. 2016 16:49

Dobře, dopočítal jsem se k tomu.

Jen poslední věc, co bych se rád věděl tedy.

Když jsem měl 1+3+5+...+(2n+1) = (n+1)^{2}
pak jsem provedl tedy takovouto úpravu :1 + (2*1+1)= 4
Tuto 1 už nebudu přičítat v dalších krocích ?

Jináč děkuji moc za výpomoc.

Rumburak

↑ mefistofelle:

Ahoj.

Pro požadovaná $n$ označme

(1) $1 + 3 + ... + (2n + 1) = S(n)$ .

Chceme dokázat, že pro každé požadované $n$ je

(2) $S(n) = (n+1)^2$ .

I. Volbou $n = 0$ dostane (1) tvar $1 = S(0)$ a (2) tvar $S(0) = (0+1)^2 = 1$ , což je spolu ve shodě,
takže můžeme říci, že (2) platí pro $n=0$ .

II. Předpokládejme, že $n$ je takové z požadovaných celých čísel, pro které platí (2) . Takový předpoklát můžeme přijmout,
protože v předchozím kroku jsme jedno takové $n$ našli, a sice $n = 0$ . Odtud je potřeba dokázat, že

(3) $S(n + 1) = $(n+1)+1$^2$ .

Tolik k vysvětlení principu důkazu . K jeho technickému provedení rozepíšeme

(4) $S(n + 1) = S(n) + (2(n+1) + 1)$ ,

což plyne přímo z definice symbolů $S(n), S(n+1)$ . Do (4) pak dosadíme za $S(n)$ z (2), což učinit můžeme,
protože číslo $n$ , s nímž v kroku II pracujeme, bylo zvoleno tak, aby splňovalo (2). Poté se snažíme ukázat, že pravá
strana v (4) je rovna $$(n+1)+1$^2$ , což by se nám při troše početní zručnosti mělo podařit.