Matematické Fórum

mata0128 · 07. 10. 2016 21:29

ahojte :)
na domacu ulohu som dostala nasledujucu ulohu:
V obore kladnych realnych čísel riešte sústavu:

$\sqrt{xy}+\sqrt{xz}-x=a$
$\sqrt{zy}+\sqrt{xy}-y=b$
$\sqrt{xz}+\sqrt{yz}-z=c$

kde a, b, c sú kladné reálne čísla.

Skúšala som rovnice spočítať, odčítať dokonca aj vynásobiť medzi sebou, ale nedostala som sa k žiadnemu rozumnému výsledku
tiež som rovnice umocnila na druhú, potom som ich skúsila sčítať a dostala som takýto "pekný" výsledok:

$z+\sqrt{yz}-\sqrt{xy}-x=\frac{a^{2}}{2x}-\frac{c^{2}}{2z}$

ktorý postup mám zvoliť, aby som dostala nejakú rozumnú sústavu rovníc, z ktorej by sa dal vyrátať výsledok?
Ďakujem! :)

Eratosthenes · 07. 10. 2016 23:26

ahoj ↑ mata0128:,

zkusil bych toto:

$\sqrt y +\sqrt z - \sqrt x = \frac a {\sqrt x}$
$\sqrt z +\sqrt x - \sqrt y = \frac b {\sqrt y}$
$\sqrt x +\sqrt y - \sqrt z = \frac c {\sqrt z}$

subst $\sqrt x = X;\sqrt y = Y;\sqrt z = Z; \frac a {\sqrt x} = A;\frac b {\sqrt y} = B; \frac c {\sqrt z} = C$

vanok · 08. 10. 2016 02:42 — Editoval vanok (08. 10. 2016 03:04)

↑ Eratosthenes:,
Pozdravujem, to nemoze fungovat,lebo tvoje A,B,C zavisia z. x,y,z.

Tiez pozdravujem ↑ mata0128:
Ale mam takuto myslienku ,
ak spocitam vsetki tri rovnice, dostanem

$2(\sqrt{xy}+...)-(x+...)=a +b+c$
Co sa este pise
$2(\sqrt{xy}+...)-$(\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z)^2-2(\sqrt {xy}+...) $=a +b+c$
A to da
$4(\sqrt {xy}+...)-(\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z)^2=a+b+c$

Co mozno moze pomoct...
Edit. WA vyjadri potom riesenie z vo funkcii x,y no vsak to som neoveril ci su to riesenia povodneho systemu.

mata0128 · 08. 10. 2016 10:24

ahoj ↑ vanok:

Ďakujem za tip
tvoje riešenie je naozaj perfektné, ale,, asi až príliš na to, aby som zistila, čo potom môžem s tou rovnicou robiť. Nepripomína mi to žiaden vzorec...
tak som apoň skúsila tú vzniknutú rovnicu (*) pripočítať k pôvodným rovniciam
takže som postupovala asi takto
(*)+(III)
(*)+(II)
no ,, ale to mi nepomohlo,, lebo som potom skúsila rovnice odčítať, a vlastne mi vypadla (*)

vanok · 08. 10. 2016 10:39 — Editoval vanok (08. 10. 2016 10:41)

↑ mata0128:,
No musim o tom porozmyslat este. Take systemy, kazdy z nich, ak ma riesenie casto sa nepodoba inemu...
Skusal som najst interpretaciu v geometrii trojuholnika, ale ani to sa nepodarilo. Skoda.
Zatial vieme len take evidentne veci o tom systeme, ako ak a=b=c, tak x=y=z=a je jedno riesenie.... Co ozaj nestaci.

Matematické Fórum

#1 07. 10. 2016 21:29

sústava rovníc

#2 07. 10. 2016 23:26

Re: sústava rovníc

#3 08. 10. 2016 02:42 — Editoval vanok (08. 10. 2016 03:04)

Re: sústava rovníc

#4 08. 10. 2016 10:24

Re: sústava rovníc

#5 08. 10. 2016 10:39 — Editoval vanok (08. 10. 2016 10:41)

Re: sústava rovníc

Zápatí