Matematické Fórum

FilipCZ

Dobrý den,

chtěl bych zde poprosit o radu ohledně konečné úpravy (vyjádření proměnných A,B,C... v čitatelích parciálních zlomků) se kterým si nevím rady.

Mám následující příklad:

$\frac{1}{(x+1)^{2}.(x^{2}+1)^{2}}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+1}+\frac{Ex+F}{(x^{2}+1)^{2}}$

po vynásobení rovnice: $/.(x+1)^{2}.(x^{2}+1)^{2}$ dostanu

$1 = A.(x+1).(x^{2}+1)^{2}+B.(x^{2}+1)^{2}+(Cx+D).(x+1)^{2}.(x^{2}+1)+(Ex+F).(x+1)^{2}$

Vyjádřím B:
$x=-1 ::::> 1=4B ::::> B=\frac{1}{4}$

$x=0 ::::> 1 = A+B+D+F$

(znak ::::> má být šipka (pro přehlednost))

A dál si nevím rady, nemohu se dostat k proměnným A,C,D,E,F. Zkoušel jsem roznásobit tu vynásobenou rovnici, tak že jsem získal tento tvar $1=A.(x^{5}+x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+1)...$ ale hodnoty proměnných A,B,C... se mi vyjádřit nepodařilo.

///Správné výsledky by měly být:

$A=\frac{1}{2},B=\frac{1}{4},C=-\frac{1}{2},D=\frac{1}{4},E=-\frac{1}{2},F=0$

Mnohokrát děkuji za ochotu a pomoc s příkladem.

Jj · 09. 10. 2016 21:02

FilipCZ napsal(a):
A dál si nevím rady, nemohu se dostat k proměnným A,C,D,E,F.

Dobrý den. Při výpočtu koeficientů dosazovací metodou je možno do rovnice

$1 = A.(x+1).(x^{2}+1)^{2}+B.(x^{2}+1)^{2}+(Cx+D).(x+1)^{2}.(x^{2}+1)+(Ex+F).(x+1)^{2}$

dosadit v podstatě jakékoliv hodnoty x (tolik hodnot, aby se dostal potřebný počet lineárních rovnic pro výpočet koeficientů).

Zatím vyšlo B = 1/4, pro výpočet dalších koeficientů je tudíž třeba ještě 5 rovnic:

- jedna z nich je již uvedená: A+B+D+F = 1; volbou třeba x = {2, 3, 4, 5} se získají další 4 rovnice a koeficienty zbývající koeficienty se s počítají soustavou pěti lineárních rovnic o pěti neznámých. Takže ke koeficientům se lze dostat - i když asi není možnost zvolit další hodnoty x tak, aby se vztahy zjednodušily (tedy aspoň já ji nevidím).

FilipCZ napsal(a):
... Zkoušel jsem roznásobit tu vynásobenou rovnici, tak že jsem získal tento tvar $1=A.(x^{5}+x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+1)...$ ale hodnoty proměnných A,B,C... se mi vyjádřit nepodařilo.

Tady jste "naťukl" další běžnou - násobící - metodu, jen je nutno uvést mnohočlen do poněkud jiného tvaru - viz např. Odkaz (jsou tam uvedeny i další možnosti).

Al1 · 09. 10. 2016 21:06 — Editoval Al1 (09. 10. 2016 21:06)

↑ FilipCZ:

Zdravím,

Výpočet dokonči pomocí porovnávání koeficientů u členů jednotlivých stupňů na levé a právé straně rovnosti

$x^{5}: 0=A+C\nl x^{4}: 0=A+B +2C+D$ atd.

Matematické Fórum

#1 09. 10. 2016 19:24 — Editoval FilipCZ (09. 10. 2016 19:27)

Rozklad na parciální zlomky - konečná úprava, vyjádření A,B,C ...

#2 09. 10. 2016 21:02

Re: Rozklad na parciální zlomky - konečná úprava, vyjádření A,B,C ...

FilipCZ napsal(a):

FilipCZ napsal(a):

#3 09. 10. 2016 21:06 — Editoval Al1 (09. 10. 2016 21:06)

Re: Rozklad na parciální zlomky - konečná úprava, vyjádření A,B,C ...

Zápatí