Matematické Fórum

VirtualPaws · 12. 10. 2016 16:17

Dobré odpoledne,
nevím si rady s příkladem ze sbírky příkladů Petákové, str. 22, 3.7 c

$\frac{3}{x+a} + \frac{a-1}{x-a} = \frac{2a}{x}$

Můj postup, byl takový, že si určím podmínky:

x != +-a
x != 0

a dále počítám:

$3x(x-a) + (a-1)(x+a)x = 2a(x^2 - a^2)$
$3x^2-3xa + ax^2 + xa^2 - x^2 -xa = 2ax^2 - 2a^3$
$a^2x - ax^2 + 2x^2 - 4ax + 2a^3 = 0$
$(2-a)x^2 + (a^2 - 4a)x + 2a^3 = 0$

Tuto kvadratickou rovnici dále dosadím do diskriminantu:
D = $(a^2 - 4a)^2 - 8*(2-a)a^3$
D = $9 a^4-24 a^3+16 a^2$
D[1] = 0
D[1] = 4/3

Dosadím a vyjde mi něco takového
$-\frac{a^2 - 4a}{2*(2-a)}$
$-\frac{a^2 - 4a +- \sqrt(3/4)}{2*(2-a)}$

Avšak výsledkem má být $a \notin \{0,1,2\}, x \in \{2a, \frac{a^2}{2-a}\}$

Jak mám tedy postupovat?

zdenek1 · 12. 10. 2016 16:26

↑ VirtualPaws:
Až k diskriminantu to vypadá rozumně, ale
$D=9a^4-24a^3+16a^2=a^2(3a-4)^2$
Proč počítáš ty kořeny?

VirtualPaws · 12. 10. 2016 16:36

zdenek1: Popravdě od kroku $(2-a)x^2 + (a^2 - 4a)x + 2a^3 = 0$ , mě nenapadá, co jiného dál s rovnicí dělat... Jak ji upravit, nebo zjednodušit jinačím způsobem...

Takjo · 12. 10. 2016 16:48

↑ zdenek1:
Dobrý den,
zkusme pokračovat od: $D=9 a^4-24 a^3+16 a^2$
To se dá upravit na: $D=a^{2}(3a-4)^{2}$ (viz. zdenek1)
$\sqrt{D}=a(3a-4)=3a^{2}-4a$

A dále: $x_{1}=\frac{-(a^{2}-4a)+(3a^{2}-4a)}{2(2-a)}$

a $x_{2}=\frac{-(a^{2}-4a)-(3a^{2}-4a)}{2(2-a)}$

Dopočítejte a nezapomeňte na podmínky.