Matematické Fórum

Elisa · 11. 10. 2016 17:39 — Editoval Elisa (11. 10. 2016 17:40)

Dobrý den, jak se prosím dodělá matematickou indukcí tento příklad? Mockrát děkuji
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-10/00386_20161011_173738.jpg

misaH · 11. 10. 2016 18:14 — Editoval misaH (11. 10. 2016 18:20)

↑ Elisa:

Ale to robíš zle.

Máš predpokladať platnosť pre $a$ a na základe toho dokázať platnosť pre $a+1$ .

Možno:

Zapíš nerovnosť pre $a$ .

Vynásob zátvorkou (a+1), dostaneš naľavo (a+1)! a napravo ...

Atď.

Eratosthenes · 11. 10. 2016 19:32

↑ misaH:

obávám se, že to dělá dobře. Moc jsem sice nad tím nepřemýšlel, ale ani mě zatím nenapadlo, co s tím...

ViliX · 11. 10. 2016 20:22

pokračování ↑ misaH:

Tím se dostane na tvar:

$(a+1)! \le \frac{(a+1)^{a+1}}{2^a}$

a je zřejmé, že:

$\frac{(a+1)^{a+1}}{2^a} \le \frac{(a+2)^{a+1}}{2^{a+1}}$

tudíž:

$(a+1)!\le \frac{(a+2)^{a+1}}{2^{a+1}}$

misaH · 11. 10. 2016 20:29

↑ Eratosthenes:

:-)

No - neviem.

Ukážeš pre 1 a položíš za n a+1?

Logika dôkazu indukciu je predsa taká, že po overení (typicky) pre 1 predpokladáš platnosť pre nejaké prirodzené číslo a na základe toho predpokladu dokážeš platnosť pre nasledujúce prirodzené.

Alebo nie?

misaH · 11. 10. 2016 21:10 — Editoval misaH (11. 10. 2016 21:16)

Povedala by som:

$a! \le \frac{(a+1)^{a}}{2^a}$ predpoklad (a je prirodzené)

Mám dokázať, že potom

$(a+1)! \le \frac{(a+2)^{a+1}}{2^{a+1}}$

Myslím, že stačí nahradiť a+1=t. Potom

$t! \le \frac{(t+1)^{t}}{2^t}$ ... platí z predpokladu

Alebo je to úplná hlúposť? (Ak hej, tak sa ospravedlňujem...)

vanok · 11. 10. 2016 21:27

Ahoj ↑ misaH:,
Staci to dobre napisat. Nerovnost ↑ Elisa: plati pre n.
Aby sme dokazali ze plati pre n+1, staci dokazat, ze
$n+1\leq \frac {(\frac {n+2}2)^{n+1}}{(\frac {n+1}2)^n}$
Po uprave mame
$1\leq \frac 12.( 1+\frac 1{1+n})^{n+1}$
Co sa este pise
$2\leq ( 1+\frac 1{1+n})^{n+1}$

Ale to je znama nerovnost .

Inac su zname aj ine dokazy, bez indukcie. Potrebujes o nich vediet.

Eratosthenes

↑ misaH:

kolegyni ↑ Elisa: říkáš:

>>Ale to robíš zle. Máš predpokladať platnosť pre $a$ a na základe toho dokázať platnosť pre $a+1$ .

Ale přesně tak to ↑ Elisa: dělala. Na tom není nic špatného.

Špatně je "trik" se substitucí. Pokud by fungoval, dalo by se dokázat cokoliv. Příklad:

Dokažte, že každé číslo tvaru

$a_n=n^2-n+41; n\in \mathbb{N}$

je prvočíslo.

1) n=1 platí.
2) máme dokázat, že pokud je $a_n=n^2-n+41; n\in \mathbb{N}$ prvočíslo, je prvočíslo i

$a_{n+1}=(n+1)^2-(n+1)+41; n\in \mathbb{N}$

Položíme-li t=n+1, dostaneme $a_{n+1}=(n+1)^2-(n+1)+41 \Rightarrow a_t=t^2-t+41; t\in \mathbb{N}$ . Podle indukčního předpokladu je tedy $a_t$ prvočíslo, takže i $a_{n+1}$ je prvočíslo. Věta platí.

Přitom to samozřejmě neplatí...

Korektní je např. obrat ↑ vanok:, který mě nenapadl.

Elisa · 11. 10. 2016 22:29

Všem děkuji za odpovědi
↑ misaH:
$t! \le \frac{(t+1)^{t}}{2^t}$
to je poslední krok? Jde to prosím ještě víc rozepsat?

↑ vanok:
Jak se prosím dostanu k tomuto?
$n+1\leq \frac {(\frac {n+2}2)^{n+1}}{(\frac {n+1}2)^n}$

Dosazuje je tedy n = a + 1 nebo n = n + 1 ?
Moc děkuji

vanok · 12. 10. 2016 00:00

↑ Elisa:
To je klasicky trik.
Treba najst vyraz ktorym sa vynasobi rovnost platna pre n aby si dostala ze je platna pre n+1.

Su ake aj dokazy bez indukcie... no asi su menej zname. Chcela by si ich vediet?

Eratosthenes

↑ Elisa:

toto

$t=n+1 \Rightarrow t! \le \frac{(t+1)^{t}}{2^t}$

není poslední krok. To je špatný krok.

>> Dosazuje se tedy n = a + 1 nebo n = n + 1 ?

To je úplně jedno, můžeš si to označit, jak chceš. Jenom pozor na formální zápis. Za n můžeš dosadit i n+1, ale nemůžeš pak napsat n = n + 1 - to totiž není pravda (ta čísla se nerovnají). Pokud chceš rovnítko použít, musíš proměnnou na pravé straně označit jinak, tedy n=a+1; n=k+1 apod.

Elisa · 12. 10. 2016 16:42

Já to vůbec nechápu ;-(
$(a+1)! \le \frac{(a+2)^{a+1}}{2^{a+1}}$
Co se musí udělat, aby to navazovalo na postup od vanok
$a+1\leq \frac {(\frac {a+2}2)^{a+1}}{(\frac {a+1}2)^a}$ ?

vanok · 12. 10. 2016 17:14 — Editoval vanok (12. 10. 2016 18:27)

↑ Elisa:, jednoducho v prvom riadku tvojho prispevku mas tvoj vyraz platny pre a=n.
Ked vynasobis obe strany ↑ Elisa: posledny riadok ( ktory je vseobecne platny) a tvoj tvoj vyraz dostanes tvoj vyraz pre a= n+1.
Co ukoncuje dokaz indukciou.

Poznamka. Pouzil som nasobenie kladnych nerovnosti.

Elisa · 12. 10. 2016 21:12 — Editoval Elisa (12. 10. 2016 21:14)

$a! \le \frac{(a+1)^{a}}{2^a}$ - platí
2) má platit
$(a+1)! \le \frac{(a+2)^{a+1}}{2^{a+1}}$
$(a+1)a! \le \frac{(a+2)^{a}.(a+2)}{2.2^{a}}$
čím to mám teď prosím vynásobit?

vanok · 12. 10. 2016 21:25

↑ Elisa:
Vsak oba posledne riadky su To iste.
(a+1). a!=(a+1)!
A aj tie druhe dva cleny. ....

To najtazsie bolo to co som ja tam vyssie dokazal. ↑ vanok:

Elisa · 12. 10. 2016 21:30

Nechápu, jak se to má upravit, aby to bylo
$a+1\leq \frac {(\frac {a+2}2)^{a+1}}{(\frac {a+1}2)^a}$

vanok · 12. 10. 2016 21:44

To nie je uprava. To je To komplikovane. To je ten vyraz ( ktory je pravdivy, ako To ukazal dokaz co som urobil) a To bolo To najtazsie ho nast. Mozno vam ho Mali dat v skole, ked ho sama nedokazes nast.

Inspiracia v tom bola cim treba vynasobit vzorec pre n tak aby dat vzorec pre n+1. A videla si ta inspiracia bola dobra lebo To nasobenie pouzilo pravdivu nerovnost.

Ked nemas z tym zvyk tak sa ti moze zdat tazke.

Elisa · 12. 10. 2016 21:48

A nešlo by to prosím ještě nějak jinak?

vanok · 12. 10. 2016 22:34

Bez indukcie. Chces?

Elisa · 12. 10. 2016 22:43 — Editoval Elisa (12. 10. 2016 22:44)

Jo už to chápu :-), moc moc děkuji

vanok · 12. 10. 2016 22:44

Navod.
$(n!)^2=\prod_{k=1}^{n}((n-k+1)k)$
Staci dokazat, ze pre kazde $k \in \{1,2,..., n\}$ mame $( n-k+ 1)k \leq $\frac {n+1}2$^2$

vanok · 12. 10. 2016 22:46

Vyborne. Ale ten dokaz bez indukcie je tiez pekny.
Tak dobre pokracovanie.

Elisa · 12. 10. 2016 23:08

Děkuji i za nastínění postupu bez indukce.
Ještě poslední dotaz prosím, n znamená přirozená čísla? Nemusím tedy řešit podmínky? Nebo je n jen proměnná?

vanok · 12. 10. 2016 23:26

↑ Elisa:
V tychto vzorcoch n su prirodzene cisla.

Matematické Fórum

#1 11. 10. 2016 17:39 — Editoval Elisa (11. 10. 2016 17:40)

matematická indukce

#2 11. 10. 2016 18:14 — Editoval misaH (11. 10. 2016 18:20)

Re: matematická indukce

#3 11. 10. 2016 19:32

Re: matematická indukce

#4 11. 10. 2016 20:22

Re: matematická indukce

#5 11. 10. 2016 20:29

Re: matematická indukce

#6 11. 10. 2016 21:10 — Editoval misaH (11. 10. 2016 21:16)

Re: matematická indukce

#7 11. 10. 2016 21:27

Re: matematická indukce

#8 11. 10. 2016 22:10 — Editoval Eratosthenes (11. 10. 2016 22:12)

Re: matematická indukce

#9 11. 10. 2016 22:29

Re: matematická indukce

#10 12. 10. 2016 00:00

Re: matematická indukce

#11 12. 10. 2016 00:01 Příspěvek uživatele vanok byl skryt uživatelem vanok. Důvod: Duplicita

#12 12. 10. 2016 09:54 — Editoval Eratosthenes (12. 10. 2016 09:59)

Re: matematická indukce

#13 12. 10. 2016 16:42

Re: matematická indukce

#14 12. 10. 2016 17:14 — Editoval vanok (12. 10. 2016 18:27)

Re: matematická indukce

#15 12. 10. 2016 21:12 — Editoval Elisa (12. 10. 2016 21:14)

Re: matematická indukce

#16 12. 10. 2016 21:25

Re: matematická indukce

#17 12. 10. 2016 21:30

Re: matematická indukce

#18 12. 10. 2016 21:44

Re: matematická indukce

#19 12. 10. 2016 21:48

Re: matematická indukce

#20 12. 10. 2016 22:34

Re: matematická indukce

#21 12. 10. 2016 22:43 — Editoval Elisa (12. 10. 2016 22:44)

Re: matematická indukce

#22 12. 10. 2016 22:44

Re: matematická indukce

#23 12. 10. 2016 22:46

Re: matematická indukce

#24 12. 10. 2016 23:08

Re: matematická indukce

#25 12. 10. 2016 23:26

Re: matematická indukce

Zápatí