Matematické Fórum

PoisonIvy · 15. 10. 2016 13:53

Dobrý den, potřebovala bych poradit s následujícím příkladem
V neodporujícím prostředí je v určitém okamžiku vržena částice pod úhlem $\alpha_{1}$ k horizontu, po čase $\Delta t$ druhá částice pod úhlem $\alpha _{2} <\alpha _{1}$ stejnou rychlostí $v_{0}$ . Jak je třeba zvolit dobu $\Delta t$ , aby se obě částice těsně před dopadem na zem srazily?

Vycházela jsem z toho, že při srážce se budou souřadnice rovnat tzn. $x_{1} = x_{2}$ a $y_{1} = y_{2}$ .
Dosadila jsem vzorečky $x = x_{0} + v_{0}tcos\alpha$ a $y =y_{0} +v_{0}tsin\alpha - \frac{1}{2}gt^{2}$
Začala jsem v počátku soustavy souřadnic, tedy $x_{0}$ a $y_{0}$ jsou nulové. Pak jsem si přidala indexy pro jednotlivé částice. Ve výsledku mám rovnici
$v_{0}t_{1}cos\alpha _{1} = v_{0}t_{2}cos\alpha _{2}$
$v_{0}t_{1}sin\alpha _{1}-\frac{1}{2}gt^{2} =v_{0}t_{2}sin\alpha_{2} - \frac{1}{2}gt^{2}$
Ať dělám co dělám, nemůžu tyto rovnice rozumně upravit tak, aby mi vyšlo něco "normálního". Zkoušela jsem nahradit $t_{2} = \Delta t-t_{1}$ a různě, vždy mi však vyjde šíleně dlouhý zlomek závislý na cos a čase.
Je má úvaha správná?
Výsledek by měl být $\Delta t=\frac{2v_{0}}{g}(sin\alpha _{1}-sin\alpha _{2})$
Děkuji

zdenek1 · 15. 10. 2016 14:59

↑ PoisonIvy:
Ono je to ve skutečnosti velmi jednoduché, problém je v tom, že autor zamlčuje jeden "malý" detail.

Doba letu první částice je $T=\frac{2v_0\sin \alpha _1}{g}$
Doba letu druhé částice je $T-\Delta t=\frac{2v_0\sin \alpha _2}{g}$
A z toho máš hned požadovaný výsledek.
Problém je v tom, že toto je podmínka NUTNÁ, ale nikoli POSTAČUJÍCÍ.
Aby to bylo přesné, musíš dodat ještě jednu podmínku, a to $\alpha _1+\alpha _2=90^\circ$ ,
což plyne z toho, že částice mají stejnou délku vrhu
$D=\frac{v_0^2\sin2\alpha_1}{g}=\frac{v_0^2\sin2\alpha_2}{g}$

PoisonIvy · 15. 10. 2016 15:11

Děkuju moc

Matematické Fórum

#1 15. 10. 2016 13:53

Srážka vržených částic

#2 15. 10. 2016 14:59

Re: Srážka vržených částic

#3 15. 10. 2016 15:11

Re: Srážka vržených částic

Zápatí