Matematické Fórum

Elisa · 15. 10. 2016 14:42

Dobrý den, jak mám prosím pokračovat v tomto důkazu? Děkuji
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-10/35207_%255EFA5D1787485270AFE2BA7E8C4BFC5878878A13FA1D0893928F%255Epimgpsh_fullsize_distr.jpg

Al1 · 15. 10. 2016 14:49

↑ Elisa:

Zdravím,

dokazuješ Bernoulliho nerovnost. Podívej se např.

např. sem

Elisa · 15. 10. 2016 15:03

Děkuji a jak se prosím upraví ta levá strana?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-10/36540_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek.PNG

Al1 · 15. 10. 2016 15:06 — Editoval Al1 (15. 10. 2016 15:08)

↑ Elisa:

$(1+x)^{k+1}\ge 1+(k+1)x\nl (1+x)(1+x)^{k}\ge 1+(k+1)x\nl(1+x)^{k}\ge \frac{1+(k+1)x}{1+x} (1)$

a stačí v čitateli zlomku roznásobit

dále pak vycházíš z nerovnosti $(1+x)^{k}\ge 1+kx$ , tedy levou stranu v (1) nahradíš výrazem $1+kx$

vanok · 15. 10. 2016 15:49 — Editoval vanok (15. 10. 2016 15:50)

Pozor tu sa pracuje na $[-1,0[\cup]0,+\infty[$
A tak treba pouzit toto
$(1+x)^{k+1}= (1+x)(1+x)^{k})\ge( 1+kx)(1+x)$

Elisa · 15. 10. 2016 15:54

↑ Al1:
Děkuji a kdy je prosím vhodné, zahrnout do tvrzení (k+1) indukční předpoklad T(k). Nikdy to nepoznám, ve kterých příkladech se k úpravě použije a ve kterých ne.
A jak tady u toho poznám, když se nahrazuje levá strana T(k+1) pravou stranou T(k), že ta pravá strana bude větší rovna?

vanok · 15. 10. 2016 16:23

↑ Elisa:
Tu vzdy na indukcnom kroku predpokladas T(k)
A tvoj ciel je dokazat T(k+1).

vanok · 15. 10. 2016 16:33 — Editoval vanok (15. 10. 2016 16:33)

Napr. tu
$(1+x)^{k+1}= (1+x)(1+x)^{k})\ge( 1+kx)(1+x)$ predpokladas T(k) $(1+x)^{k}\ge 1+kx$
Tvoj ciel T(k+1)
cize $(1+x)^{k+1}\ge 1+(k+1)kx$

No vsak vidis ze $(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+x^2$
Ale to je $\ge 1+(1+k)x$ lebo. $x^2 \ge 0$ ....