Matematické Fórum

Elisa · 15. 10. 2016 14:28

Dobrý den, jak se prosím vypočítají tyto příklady? U 4) mi nevychází tvrzení pro n = 1
Mockrát děkuji
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-10/34479_%255E9576FBE2F63529AFDE69E641AB82E1A479B1D9E2C1D299C0DE%255Epimgpsh_fullsize_distr.jpg

Al1 · 15. 10. 2016 14:41 — Editoval Al1 (15. 10. 2016 14:44)

↑ Elisa:

Zdravím,

ad 4)
n=1
$L=2^{1-1}=2^{0}=1$

(pro n=2 bys měla $L=2^{2-2}+2^{2-1}=1+2$ )

ad 3) je dobré si upravit $1+2+3+\ldots +k=\frac{k(k+1)}{2}$

Elisa · 15. 10. 2016 14:50

Děkuji a jakou úpravou si můžu 3) upravit na takový tvar?

Al1 · 15. 10. 2016 14:51 — Editoval Al1 (15. 10. 2016 14:52)

↑ Elisa:

Je to součet prvních k-členů aritmetické posloupnosti.

Elisa · 15. 10. 2016 15:05

I když je každý člen na třetí?

Al1 · 15. 10. 2016 15:12 — Editoval Al1 (15. 10. 2016 15:14)

↑ Elisa:

Asi si nerozumíme. Já bych nahradil výraz v mocnině na pravé straně dokazované rovnosti, tedy výraz $(1+2+\ldots +n)$ výrazem $\frac{n(n+1)}{2}$ . Tedy pro $n=k$ vyýrazem $\frac{k(k+1)}{2}$ , pro n=k+1 výrazem $\frac{(k+1)(k+2)}{2}$

Dokazuješ

$1+2^{3}+3^{3}+\ldots n^{3}=\bigg(\frac{n(n+1)}{2}\bigg)^{2}$

vanok · 15. 10. 2016 15:34

Ahoj ↑ Al1:,
To je dobra uprava.

Ale casto sa toto cvicenie dava vo forme ( aspon na VS). Dokazte, Ze $1+2^{3}+3^{3}+\ldots n^{3}$ sa da vyjadrit ako polynon z neurcitou n (slovo neznama, nie je podla mna dost presne) stvrteho stupna. A to je zaujimavejsie cvicenie.

Pre 4) mozes aj vyuzit, ze ide o geom. postupnost.

Elisa · 15. 10. 2016 16:12

Děkuji a jak dál se prosím upraví $1+2^{3}+3^{3}+\ldots n^{3}=\bigg(\frac{n(n+1)}{2}\bigg)^{2}$ ?

vanok · 15. 10. 2016 16:17 — Editoval vanok (15. 10. 2016 16:19)

Jednoducho
$1+2^{3}+3^{3}+\ldots n^{3}+(n+1)^3=\bigg(\frac{n(n+1)}{2}\bigg)^{2}+(n+1)^3$
Na pravo vyjmi $(n+1)^2$
A faktorizuj co ostalo ....d

Elisa · 15. 10. 2016 16:26

Jak vyjmi $(n+1)^2$ ?

vanok · 15. 10. 2016 16:49

$\bigg(\frac{n(n+1)}{2}\bigg)^{2}+(n+1)^3= \frac {n^2(n+1)^2}4+...$ atd
Vidis

Elisa · 15. 10. 2016 16:56

Vlevo je to také součet aritmetické posloupnosti?
$1+2^{3}+3^{3}+\ldots n^{3}=\bigg(\frac{n(n+1)}{2}\bigg)^{2}$ ?

Al1 · 15. 10. 2016 17:15

↑ Elisa:

Vlevo máš
1, 8, 27, 64, 125 ... sama vidíš, že toto nejsou členy žádné aritmetické posloupnosti.

Elisa · 15. 10. 2016 17:36

↑ Al1:
A jak se to tedy prosím upraví?

Al1 · 15. 10. 2016 17:47

↑ Elisa:

Dokazujeme:

$1+2^{3}+3^{3}+\ldots k^{3}+ (k+1)^{3}=\bigg(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\bigg)^{2}\nl L=\bigg(\frac{k(k+1)}{2}\bigg)^{2}+(k+1)^{3}=(k+1)^{2}\bigg(\frac{k^{2}}{4}+(k+1)\bigg)=\nl =(k+1)^{2}\bigg(\frac{k^{2}+4k+4}{4}\bigg)=\frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4}=\bigg(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\bigg)^{2}$

vanok · 15. 10. 2016 17:58

↑ Al1:
Presne to som cakal.

Elisa · 15. 10. 2016 18:09

aha, ta levá strana je z T(k), moc moc děkuju

Matematické Fórum

#1 15. 10. 2016 14:28

Matematická indukce

#2 15. 10. 2016 14:41 — Editoval Al1 (15. 10. 2016 14:44)

Re: Matematická indukce

#3 15. 10. 2016 14:50

Re: Matematická indukce

#4 15. 10. 2016 14:51 — Editoval Al1 (15. 10. 2016 14:52)

Re: Matematická indukce

#5 15. 10. 2016 15:05

Re: Matematická indukce

#6 15. 10. 2016 15:12 — Editoval Al1 (15. 10. 2016 15:14)

Re: Matematická indukce

#7 15. 10. 2016 15:34

Re: Matematická indukce

#8 15. 10. 2016 16:12

Re: Matematická indukce

#9 15. 10. 2016 16:17 — Editoval vanok (15. 10. 2016 16:19)

Re: Matematická indukce

#10 15. 10. 2016 16:26

Re: Matematická indukce

#11 15. 10. 2016 16:49

Re: Matematická indukce

#12 15. 10. 2016 16:56

Re: Matematická indukce

#13 15. 10. 2016 17:15

Re: Matematická indukce

#14 15. 10. 2016 17:36

Re: Matematická indukce

#15 15. 10. 2016 17:47

Re: Matematická indukce

#16 15. 10. 2016 17:58

Re: Matematická indukce

#17 15. 10. 2016 18:09

Re: Matematická indukce

Zápatí