Matematické Fórum

Rozárka96 · 16. 10. 2016 22:30

Prosím o pomoc s matematickou indukcí.

Dokaž, že pro $\forall n\in N(?): 2^{n}>n^{2}$

Došla jsem k tomu, že tento příklad lze řešit pro n>4. Tedy první prvek bude 5.

1. krok: n=5

Rozárka96 · 16. 10. 2016 22:33

(Omylem odesláno dříve než jsem chtěla)

1. krok:
n=5
$2^{5}>5^{2}$
ano platí (32>25)

2. krok:
n=k
$2^{k}>k^{2}$

3. krok
n=k+1
$2^{k+1}>(k+1)^{2}$

Nevím, jak tuto matematickou indukci dořešit. Děkuji za pomoc

ViliX · 16. 10. 2016 22:45 — Editoval ViliX (16. 10. 2016 23:02)

Takto jsem řešil já:

Vycházíme z: $2^k > k^2$
$2\cdot 2^k > 2\cdot k^2$ (dle indukčního předpokladu)
Zkusme dokázat, že:
$2\cdot k^2 > (k+1)^2$
$2\cdot k^2 > k^2+2k+1$
$k^2 > 2k+1$
A pro každé celé číslo k větší než 2 platí: $k^2 - 2k - 1> 0$
A jelikož: $2\cdot 2^k > 2\cdot k^2$ a zároveň $2\cdot k^2 > (k+1)^2$ , potom: $2\cdot 2^k > (k+1)^2$
Správností a formálností si nejsem jistý, jen mi to tak v hlavě připadá..

vanok · 17. 10. 2016 12:58

Ahoj ↑ ViliX:,
Skutocne tvoj dokaz, ze $2\cdot k^2 > (k+1)^2$ sa da lepsie vyjadrit.
Napr. Mozes vysetrit kedy $2x^2-(x+1)^2$ je kladne a potom vdaka tomu ukoncit dokaz.

ViliX · 17. 10. 2016 15:03

Zdravím ↑ vanok:

V důkazech nejsem zběhlý a připadalo mi, že by každý měl být rozveden do té doby než je to plně evidentní. Pokud to ale v takové formě stačí, tak dobrá.

vanok · 17. 10. 2016 19:08 — Editoval vanok (01. 11. 2016 19:23)

↑ ViliX:
No treba vysvetlit take, aby to mohol kazdy bez vahania pochopit.
No skusaj to robit co najlepsie A casom sa zlepsis.
Vsak uz robis pokroky.

( tu mozes napr. vyuzit, ze vysetrovana funkcia je parabola....)

ViliX · 17. 10. 2016 19:16

↑ vanok:

S tím jsem právě počítal. Ta parabola $k^2-2k-1$ má kořeny cca -0.4 a 2.4. Proto jsem tam napsal pro každé celé číslo větší než 2.

vanok · 17. 10. 2016 19:29

Vädcie ako 4. ( Pozri prvy krok. )

ViliX · 17. 10. 2016 19:31

No právě. V prvním kroku se dozvíme že musí být větší než 4, takže ta podmínka která vyjde z té peraboly je slabší a tudíž se může opomenout.

vanok · 17. 10. 2016 20:13

Preco si komlikujes zivot?
Jednoducho mozes dokazat, ze vysetrovana funkcia je pozitivna pre .... A tak aj pre k......
Dopln to a mas dokaz co hladas.

Rozárka96 · 01. 11. 2016 17:04

Děkuji moc za pomoc. Už to chápu :-)

Matematické Fórum

#1 16. 10. 2016 22:30

Matematická indukce - nerovnost

#2 16. 10. 2016 22:33

Re: Matematická indukce - nerovnost

#3 16. 10. 2016 22:45 — Editoval ViliX (16. 10. 2016 23:02)

Re: Matematická indukce - nerovnost

#4 17. 10. 2016 12:58

Re: Matematická indukce - nerovnost

#5 17. 10. 2016 15:03

Re: Matematická indukce - nerovnost

#6 17. 10. 2016 19:08 — Editoval vanok (01. 11. 2016 19:23)

Re: Matematická indukce - nerovnost

#7 17. 10. 2016 19:16

Re: Matematická indukce - nerovnost

#8 17. 10. 2016 19:29

Re: Matematická indukce - nerovnost

#9 17. 10. 2016 19:31

Re: Matematická indukce - nerovnost

#10 17. 10. 2016 20:13

Re: Matematická indukce - nerovnost

#11 01. 11. 2016 17:04

Re: Matematická indukce - nerovnost

Zápatí