Matematické Fórum

Jakub1 · 18. 10. 2016 11:18

Dobrý deň, mohli by ste mi, prosím, overiť správnosť dôkazu:

"Nech $(X,||.||)$ je lineárny normovaný priestor a $A,\ \ B$ sú uzavreté množiny. Dokážte, že platí:
$int(A\cap B)=int(A)\cap int(B)$ "

Môj dôkaz: treba dokázať obe inklúzie. Zoberme $x\in A\cap B$ :

1.) $x\in int(A)\cap int(B) \Rightarrow x\in int(A\cap B)$ .

Nech teda $x\in int(A)\cap int(B)$ . Kedže obe množiny $int(A), int(B)$ sú otvorené, vzhľadom na bod $x$ možno napísať:
$\exists s>0\ \ B_s(x)\subset int(A)\subset A$
$\exists t>0\ \ B_t(x)\subset int(B)\subset B$

Zoberme teda $r=min(s,t)$ a potom bude pre tento polomer platiť: $B_r(x)\subset (int(A)\cap int(B)) \subset A\cap B$

Predpokladajme, že by však $x\notin int(A\cap B)$ , teda nutne $x\in \partial(A\cap B)$ . Podľa definície hranice musí $\forall p>0 \ \ B_p(x)\cap (A\cap B)\neq\emptyset, \ \ B_p(x)\cap (X\setminus (A\cap B)) \neq \emptyset$ . Lenže pre $p=r>0$ platí $B_r(x)\subset A\cap B$ , a teda $B_r(x) \cap (X\setminus (A\cap B))=\emptyset$ a to je spor.

2.) $x \in int(A\cap B)\Rightarrow x \in int(A)\cap int(B)$

Nech teda $x \in int(A\cap B)$ , potom $\exists r>0 \ \ B_r(x) \subset int(A\cap B) \subset (A\cap B)$ . Bez ujmy na všeobecnosti predpokladajme, že $x \notin int(A)\Rightarrow x \in \partial A$ . Potom by však $\forall p>0 \ \ B_r(x)\cap A\neq \emptyset, \ \ B_r(x)\cap A^{c} \neq \emptyset$ Avšak pre $p=r>0$ platí, že $B_r(x) \subset (A\cap B)$ , a teda $B_r(x) \cap A^{c}=\emptyset$ a to je spor.

Ďakujem.

Bati · 18. 10. 2016 12:03 — Editoval Bati (18. 10. 2016 12:03)

Ahoj ↑ Jakub1:.
První část se podle mě dá zkrátit. To s tím minimem je v podstatě jen důkaz faktu, že průnik dvou ot. množin je ot. množina. Takže bych to napsal nějak takhle: $int(A)\cap int(B)$ je otevřená, tedy existuje okolí $V(x)\subset int(A)\cap int(B)\subset A\cap B$ . Tudíž $x\in int(A\cap B)$ a tím je 1) hotová. 2) je ok. Normovatelnost prostoru není k ničemu potřeba.

Rumburak

↑ Jakub1:

Ahoj.

Snad to máš dobře, ale je to až příliš podrobné a proto nepřehledné, takže i kontrola je obtížná.
Zkusme to jinak:

Vnitřek množiny $X$ označme $X^0$ .

I. Zřejmě platí $A^0 \subseteq A$ , $B^0 \subseteq B$ , proto

(1) $A^0 \cap B^0\subseteq A \cap B$ .

Průnik konečného počtu ot. množin je ot. množina, takže $A^0 \cap B^0$ je otevřená množina.
Největší otevřenou množinou $G$ splňující $G \subseteq A \cap B$ je $(A \cap B)^0$ , proto

$A^0 \cap B^0 \subseteq (A \cap B)^0$ .

Zkus obdobným aparátem dokázat obrácenou inklusi.

Matematické Fórum

#1 18. 10. 2016 11:18

Dôkaz z topológie

#2 18. 10. 2016 12:03 — Editoval Bati (18. 10. 2016 12:03)

Re: Dôkaz z topológie

#3 18. 10. 2016 12:05 — Editoval Rumburak (18. 10. 2016 12:29)

Re: Dôkaz z topológie

Zápatí