Matematické Fórum

PoisonIvy

Dobry den, mam zadany takovy priklad:
Zjistěte do jaké maximální výšky nad zemským povrchem vyletí raketa vystřelená ze země počáteční rychlostí $v_{0}$ pod úhlem $\alpha$ k horizontu. Předpokládejte, že na raketu působí pouze gravitační síla, závislá na vzdálenosti od středu země. Na povrchu uvažujte gravitační zrychlení g. Odpor prostředí zanedbejte.

Vycházela jsem z vrhu svisleho vzhůru. Odvodila jsem si maximální výšku $h_{max}=\frac{v^{2}_{0}}{2g}$
(pro zjednoduseni jsem nejdrive zanedbala uhel, protoze bez nej bude vysledek $h_{max}=\frac{R^{2}v^{2}_{0}}{2GM-v^{2}_{0} R}$ )

Pokud nezanedbam uhel (tj. Nebudu pocitat ze alpha je 90°) bude vysledek
$h_{max}=R\frac{Rv^{2}_{0}-GM+\sqrt{G^{2} M^{2}-v^{2}_{0} Rcos^{2}\alpha (2GM-v^{2}_{0} R)}}{2GM-v^{2}_{0} R}$

Porad se k tomuto vysledku nemuzu dostat. Premyslela jsem i o integraci podle g a nahrazeni g pomoci vzorce kappa*...
Nemuzu najit spravny vzorec nebo kombinaci, pomoci ktere bych se k vysledku aspon priblizila.

Dekuji predem za jakekoliv rady.

LukasM · 17. 10. 2016 20:19

↑ PoisonIvy:
Ahoj.
Podle zadání máme uvažovat gravitační sílu závislou na vzdálenosti od středu Země. Takže počítat s homogenním polem nemůže vést k cíli (to je ten vztah pro svislý vrh). I ve výsledku se vyskytuje gravitační konstanta - to je to tvoje "kappa", ačkoli oni ho značí G. Je skutečně třeba využít NGZ, v podstatě řešíme Keplerův problém. Asi by šlo řešit pohybové rovnice nějakým integrováním, ale je možné si poměrně výrazně usnadnit práci. Abych to nevyspoiloval celé, napíšu jen návodný výkřik: Pro fyzika požehnání jsou zákony zachování.

PoisonIvy · 19. 10. 2016 12:22

Zkoušela jsem tedy vycházet ze zákonu zachování mechanické energie.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-10/72519_matika.png

Na počátku máme kinetickou energii rovnu $E_{k}$ , která se postupně mění v potenciální energii, avšak ne všechna kinetická energie se přemění na potenciální. V nejvyšším bodě bude
$E_{k} = E_{k1} + E_{p}$
viz. obrázek.

$\varkappa \frac{Mm}{R+h_{m}}+\frac{1}{2}mv_{0}^{2}cos^{2}\alpha = \frac{1}{2}mv_{0}^{2}$

Po vykrácení hmotnosti m, převedení na druhou stranu a vytknutí
$\varkappa \frac{M}{R+h_{m}} = \frac{1}{2}v_{0}^{2}(1-cos^{2}\alpha )$ .

Vynásobím dvěma a dále upravím na
$\frac{2M\varkappa}{v_{0}^{2}(1-cos^{2}\alpha )} = R+h_{m}$ ,

vyjádřím si $h_{m}$ jako
$h_{m} = \frac{2M\varkappa}{v_{0}^{2}(1-cos^{2}\alpha )} - R$ ,

po úpravě nakonec dostanu
$h_{m} = \frac{-Rv_{0}^{2}-\varkappa M-\varkappa M-Rv_{0}^{2}cos^{2}\alpha }{v_{0}^{2}(1-cos^{2}\alpha )}$

Dostala jsem skoro požadovaný zlomek, avšak se poněkud liší (o odmocninu). Nevím, kde ji mám získat, nebo jak se k ní mám dohrabat :D

LukasM · 19. 10. 2016 13:34

↑ PoisonIvy:
No, ten zlomek se liší mnohem víc než jen o odmocninu... Obávám se, že tam vidím několik problémů:

1. Potenciální energie ti s výškou klesá, zatímco má růst.

2. Podle té energetické rovnice počítáš s tím, že na povrchu Země je potenciální energie nulová. To není pravda (pokud chceš počítat potenciální energii podle vztahu $E_p=-\frac{GmM}{r}$ ). Příslušný (konstantní) člen se v rovnici musí taky objevit.

Když tyhle dvě věci opravíš, budeš to mít správně - ovšem jen do doby, než výsledek začne ovlivňovat zakřivení Země. S tím souvisí třetí problém:

3. Země není placatá. Obrázek by podle mého měl vypadat jinak. Nějak takhle:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-10/75365_kepler.png
Samozřejmě je to jistý speciální případ pro $\alpha=0$ a nějakou rychlost, ale princip je snad jasný. Teprve po zohlednění tohoto se můžeš dostat ke kýženému výsledku. Pokud se tedy nemýlím.

zdenek1 · 19. 10. 2016 15:01

↑ PoisonIvy:
Viděl bych to nějak takto
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-10/81360_pic.png
Počáteční rychlost si rozložíš na radiální a úhlovou složku. Protože gravitační síla působí jen v radiálním směru, úhlová složka $v_{\varphi}=v_0\cos\alpha$ bude konstantní. V maximální výšce bude radiální sožka nulová, takže
ze ZZE
$\frac12mv_0^2-G\frac{M_zm}{R_z}=\frac12mv_{\varphi }^2-G\frac{M_zm}{R_z+h}$
Zbytek jsou počty