Matematické Fórum

Trollin · 19. 10. 2016 19:19

hezký večer vespolek :)
snažím se tu rozhodnout o stejnoměrné konvergenci řady
$\sum_{n=0}^{infty}\frac{x^{4}(3x^{2}+2)^{n}}{(x^{2}+1)^{n}(x^{2}+2)^{n}}$
došla jsem k tomu, že oborem konvergence jsou reálná čísla, ale dál už vůbec nevím, jak na to... Mám k dispozici Weierstrassovo, Leibnitzovo, Abelovo, Dirichetovo a srovnávací kritérium pro stejnoměrnou konvergenci, ale u těch pánů se mi nezdá, že by to šlo použít, maximálně Weierstrassovo - vyšetřit funkci a dosadit supremum, ale nenapadlo by někoho něco snadnejšího? Ta derivace vypadá dost šíleně...
Děkuju za pomoc :)

Pritt · 19. 10. 2016 23:47 — Editoval Pritt (20. 10. 2016 00:04)

↑ Trollin:

Ahoj, nepočítal jsem to, ale je vidět, že $\frac{(3x^{2}+2)^{n}}{(x^{2}+1)^{n}(x^{2}+2)^{n}} = \left ( \frac{3x^{2}+2}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)} \right )^n$
Takže to vypadá jako geometrická řada, jejíž součet známe, pokud kvocient je z intervalu (-1, 1).

Tedy
$|q(x)| = \left | \frac{3x^{2}+2}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)} \right | = \frac{3x^{2}+2}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)} \overset{!}{<} 1$ . (1)

Pokud najdeme takové $a \in (0, 1)$ pro všechny $x$ vyhovující (1) a jestliže $q(x) \leq a \Rightarrow q^n(x) \leq a^n$ máme majorantu, u níž dokážeme konvergenci, tedy i SK, tedy i SK původní řady.

$a$ nalezneme jako maximum funkce $q(x)$ .

EDIT: ještě tu možná nedostatek, protože maximum je v bodě x=0 a tedy a=1. Pokud ale vezmeme $a$ o trochu menší, budeme mít majorantu pro všechny x různé od 0, která konverguje. Pro x=0 je řada pouze součet nul.

PS: Ta derivace není tak hrozná, jak na první pohled vypadá :-)

Celá řada by (podle mě) měla teda stejnoměrně konvergovat na $\mathbb{R}$ k funkci $s(x) = \frac{x^4}{1-q(x)}$ .

Matematické Fórum

#1 19. 10. 2016 19:19

stejnoměrná konvergence řady

#2 19. 10. 2016 23:47 — Editoval Pritt (20. 10. 2016 00:04)

Re: stejnoměrná konvergence řady

Zápatí