Matematické Fórum

aniuce · 20. 10. 2016 09:54 — Editoval aniuce (20. 10. 2016 09:55)

Prosím o pomoc s důkazem,
$\forall n \in \mathbb{N},a,b\in \mathbb{R}^{+}: (a^n+b^n)/2\ge ((a+b)/2)^n$

děkuji

vím že indukční předpoklad (v případě postupování přes MI) se musí předělat, aby vyšel, ale pak se dotoho zamotám

jarrro · 20. 10. 2016 11:37 — Editoval jarrro (20. 10. 2016 11:39)

$\frac{a^{n}+b^{n}}{2}\geq$\frac{a+b}{2}$^{n}\nl \frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{2}\geq$\frac{a+b}{2}$^n\frac{\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{2}}{\frac{a^{n}+b^{n}}{2}}$
stačí ukázať, že
$$\frac{a+b}{2}$^{n}\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^{n}+b^{n}}\geq$\frac{a+b}{2}$^{n+1}$
teda
$\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^{n}+b^{n}}\geq\frac{a+b}{2}$
ale
$c=\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^{n}+b^{n}}=\frac{a\cdot a^{n}+a\cdot b^{n}-a\cdot b^{n}+b\cdot b^{n}}{a^{n}+b^{n}}=\nl =\frac{b\cdot a^{n}+b\cdot b^{n}-b\cdot a^{n}+a\cdot a^{n}}{a^{n}+b^{n}}=a+\frac{$b-a$b^{n}}{a^n+b^n}=b+\frac{$a-b$a^{n}}{a^{n}+b^{n}}$
teda
$2c=a+b+\frac{$b-a$b^{n}+$a-b$a^n}{a^{n}+b^{n}}\nl c=\frac{a+b}{2}+\frac{\quad\frac{$b-a$b^{n}+$a-b$a^{n}}{2}\quad}{a^{n}+b^{n}}$
teda stačí ukázať
$$b-a$b^n+$a-b$a^n\geq 0$
teda
$$b-a$b^n\geq $b-a$a^n$
ale výrazy ktorých nerovnosť dokazujeme nezávisia na poradí a, b teda môžeme predpokladať, že b>a (ak by bolo a=b nemáme čo dokazovať)
ale potom aj
$b^n\geq a^n$
čbtd

aniuce · 20. 10. 2016 13:40

děkuji

Matematické Fórum

#1 20. 10. 2016 09:54 — Editoval aniuce (20. 10. 2016 09:55)

Důkaz

#2 20. 10. 2016 11:37 — Editoval jarrro (20. 10. 2016 11:39)

Re: Důkaz

#3 20. 10. 2016 13:40

Re: Důkaz

Zápatí