Matematické Fórum

Evkaa · 21. 10. 2016 15:23

Čau, potřebovala bych poradit s matematickou indukcí, konkrétně s tímto příkladem:
$\mathrm{(1+a)}^{n}\le 1 + n*a+\frac{(n-1)n}{2}* a^{}$

1)Když dosadím a=1, tak mi výjde: $(1+a)= (1+a)$
2)V druhém kroku dosadím n=k, tak mi výjde:
$(1+a)^{k} = 1 + 1k + \frac{(k-1)k}{2} * a^{2}$
3) vím, že bych měla dosadit n=k+1, jenže ted nějak nevím, jak přesně to má vypadat...
Udělala bych to takhle:
$(1+a)^{k+1} = 1 + 1k(k+1) + \frac{(k+1-1)+1(k+1)}{2} * a^{2}$

Postupuji správně?

Al1 · 21. 10. 2016 15:46 — Editoval Al1 (28. 10. 2016 20:52)

↑ Evkaa:

Zdravím,

správné zadání příkladu je důkaz $\mathrm{(1+a)}^{n}\le 1 + n*a+\frac{(n-1)n}{2}* a^{}$
nebo
$\mathrm{(1+a)}^{n}\ge 1 + n*a+\frac{(n-1)n}{2}* a^{2}$
?

Evkaa · 21. 10. 2016 15:47

Jo, a na druhou... to druhé je správně, asi jsem se upsala:/

Al1 · 21. 10. 2016 15:51 — Editoval Al1 (28. 10. 2016 20:53)

↑ Evkaa:

Dobře. Obvyklé je dokazovat pro $n\in N$ (A jaké jsou podmínky pro a?)

Když bych předpokládal, že máme nerovnost dokázat pro všechna přirozená čísla n, pak
první krok pro n=1 bude
$(1+a)\ge 1+a$

druhý krok pro n=k bude:
$(1+a)^{k} \ge 1 + k\cdot a + \frac{(k-1)k}{2} \cdot a^{2}$

třetí krok pro n=k+1 bude:
$(1+a)^{k+1} \ge 1 + (k+1)\cdot a + \frac{(k+1-1)\cdot(k+1)}{2}\cdot a^{2}$

tedy po úpravě $(1+a)^{k+1} \ge 1 + (k+1)\cdot a + \frac{k\cdot(k+1)}{2}\cdot a^{2}$

Evkaa · 21. 10. 2016 15:55

právě že podmínky vubec nemáme uvedeny...

Al1 · 21. 10. 2016 16:03

↑ Evkaa:

Teď vycházej z předpokladu platnosti vztahu ve druhém kroku a dokaž platnost vztahu ze třetího kroku.

Evkaa · 21. 10. 2016 17:54

Takze mam postupovat ze dokazu ze leva strana se rovna prave?

Al1 · 21. 10. 2016 18:15 — Editoval Al1 (28. 10. 2016 20:53)

↑ Evkaa:

$(1+a)^{k+1}=(a+1)^{k}(a+1)\ge \bigg(1 + k\cdot a + \frac{(k-1)k}{2} \cdot a^{2}\bigg)(a+1)$
A pokračuj v úpravě

Evkaa · 21. 10. 2016 18:25

Muzu se jeste zeptat kde se vzalo napravo to (a+1) nakonci?

Al1 · 21. 10. 2016 18:47

↑ Evkaa:

Využil jsem indukční předpoklad a výraz $(a+1)^{k}$ jsem nahradil s příslušnou nerovností výrazem $1 + k\cdot a + \frac{(k-1)k}{2} \cdot a^{2}$