Matematické Fórum

dominiksep

Ahoj,
mám následující příklad na vektorové prostory matic a nemůžu s ním pohnout:
$https://latex.codecogs.com/gif.latex?%24V%3D%5Cleft%20%5C%7B%20%5Cmathbb%7BA%7D%5Cin%20T%5E%7Bm%2Cn%7D%20%5Cleft%7C%20%5Cexists%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20x_%7B1%7D%5C%5C%20x_%7B2%7D%5C%5C%20%5Cvdots%20%5C%5C%20x_%7Bm%7D%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cin%20T%5E%7Bm%7D%2C%20%5Cexists%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20y_%7B1%7D%5C%5C%20y_%7B2%7D%5C%5C%20%5Cvdots%5C%5C%20y_%7Bn%7D%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%5Cin%20T%5E%7Bn%7D%2C%20%5Cleft%20%28%20%5Cmathbb%7BA%7D_%7Bij%7D%20%3D%20x_%7Bi%7D&plus;y_%7Bj%7D%20%5Cright%20%29%20%5Cright%20%5C%7D%24$
Mám zjistit, zda V je vektorový prostor při zúžení operací z prostoru matic $T^{m,n}$ . Pokud ano, mám najít báze V a ověřit, že jde o báze V.

Co se týče dosavadního postupu, mám menší problém s pochopením definice vektorového prostoru matic - respektive pokud mám někde uvedeno "vektorový prostor matic $T^{m,n}$ nad číselným tělesem T", znamená to, že všechny matice v daném prostoru mají stejnou velikost?

V dalším postupu jsem předpokládal, že matice jsou stejně velké. V tom případě snadno dokážu uzavřenost na sčítání a násobení číslem z tělesa. Problém ale nastává u nalezení vektorů báze. Původně jsem myslel, že bych mohl mít $m+n$ vektorů báze, přičemž $m$ z nich vynásobených vždy prvkem $x_i$ a s $i$ tým jedničkovým řádkem a $n$ vektorů vynásobených vždy prvkem $y_j$ s $j$ tým jedničkovým sloupcem.
Takový systém vektorů báze by ovšem nebyl lineárně nezávislý (vždy jeden vektor by šel vyjádřit pomocí ostatních) a nemůžu si dovolit žádný z vektorů škrtnout.

Nemůžete mi prosím poradit, jakým směrem se vydat?
Děkuji,
Dominik

Stýv · 21. 10. 2016 19:27

Takový systém vektorů báze by ovšem nebyl lineárně nezávislý (vždy jeden vektor by šel vyjádřit pomocí ostatních) a nemůžu si dovolit žádný z vektorů škrtnout.

nevidíš v tom rozpor?

dominiksep · 21. 10. 2016 19:30

↑ Stýv:
No nevidím, protože pokud ho škrtnu, tak potom matice podle nových bází vyjádřená nebude mít vlastnosti ze zadání (jeden řádek/sloupec prostě nebude sedět).

dominiksep · 21. 10. 2016 19:50

Pro ukázku jak to myslím uvádím příklad bází pro matici 3x3:
$x_{1}\begin{pmatrix} 1 &1 &1 \\ 0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 \end{pmatrix}+x_{2}\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 1 &1 &1 \\ 0 &0 &0 \end{pmatrix}+x_{3}\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 \\ 1 &1 &1 \end{pmatrix}+$
$+y_{1}\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 1 &0 &0 \\ 1 &0 &0 \end{pmatrix}+y_{2}\begin{pmatrix} 0 &1 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &1 &0 \end{pmatrix}+y_{3}\begin{pmatrix} 0 &0 &1 \\ 0 &0 &1 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix}$
Ovšem například 1. matici lze vyjádřit jako -1*(druhá+třetí)+1*(čtrvrtá+pátá+šestá)

Stýv · 21. 10. 2016 20:40

↑ dominiksep: ... takže se bez té první matice obejdeš

dominiksep · 21. 10. 2016 21:04

↑ Stýv:
No ale m*n prvků nemůžu přece vyjádřit pomocí m*n-1 vektorů báze. Pokud se pokusím takto vyjádřit nějaký konkrétní případ (a to jsem zkusil), tak mi vyjde, že soustava nemá řešení.
Báze tedy musí vypadat jinak a to je to, na co se ptám.

Stýv · 22. 10. 2016 16:13

↑ dominiksep: těch vektorů báze není m*n-1 ale m+n-1 a obecnou matici m*n z nich samozřejmě nevyjádříš, ale ten prostor taky neobsahuje všechny matice

dominiksep

↑ Stýv:
Jo, už mi to došlo, omlouvám se za svoji zabedněnost...
Teď jak to zapsat pro obecnou matici m*n. Můžu použít BÚNO a dokázat to třeba pro 3*3?
Nebo radši 2*2, matici o 9 řádcích nechci...

Stýv · 22. 10. 2016 19:47

radši bych to udělal obecně. můžeš si třeba zavést značení, že $S_i$ je matice s jedničkama v i-tém sloupci a nulama jinde, podobně $R_j$ pro ty řádkové...

dominiksep · 22. 10. 2016 20:19

↑ Stýv:
To jsem si říkal, ale nedovedu si představit, jak dokážu jejich lineární nezávislost a to, že generují V. U matice 2*2 jsem to řešil jako soustavu rovnic.

Matematické Fórum

#1 21. 10. 2016 19:01 — Editoval dominiksep (21. 10. 2016 19:09)

Příklad na vektorové prostory matic

#2 21. 10. 2016 19:03 Příspěvek uživatele dominiksep byl skryt uživatelem dominiksep. Důvod: Není aktuální

#3 21. 10. 2016 19:27

Re: Příklad na vektorové prostory matic

#4 21. 10. 2016 19:30

Re: Příklad na vektorové prostory matic

#5 21. 10. 2016 19:50

Re: Příklad na vektorové prostory matic

#6 21. 10. 2016 20:40

Re: Příklad na vektorové prostory matic

#7 21. 10. 2016 21:04

Re: Příklad na vektorové prostory matic

#8 22. 10. 2016 16:13

Re: Příklad na vektorové prostory matic

#9 22. 10. 2016 16:49 — Editoval dominiksep (22. 10. 2016 16:51)

Re: Příklad na vektorové prostory matic

#10 22. 10. 2016 19:47

Re: Příklad na vektorové prostory matic

#11 22. 10. 2016 20:19

Re: Příklad na vektorové prostory matic

Zápatí