Matematické Fórum

Nadruhu

Ahojte, mam dokazat ze rovnica
$x^3+x^2-2x+1=0$
nemá racionalne korene. Skusil som dosadit $p,q$ take aby boli nesudelitelne (podobne ako pri dokaze iracionality odmocniny z dvoch).
Dostal som
$(p/q)^3+(p/q)^2-2(p/q)-1=0$
$p^3+qp^2+2q^2p-q^3=0$ a teraz co stym? preco by to nemohlo mat racionalne korene?

misaH · 22. 10. 2016 13:58

https://cs.m.wikipedia.org/wiki/Cardanovy_vzorce

Eratosthenes

ahoj ↑ Nadruhu:,

jednodušší je použít následující větu:

Jestliže polynom a_n*x^n+...a_0 s celočíselnými koeficienty má racionální kořeny, pak čitatel všech rac. kořenů dělí a_0 a jejich jmenovatel dělí a_n.

Pokud by tedy naše rovnice měla racionální kořeny, musely by být tvaru +-1/+-1, tj. možné racionální kořeny jsou jen jednička a mínus jednička...

vanok · 22. 10. 2016 14:50

↑ misaH:,
Pozdravujem,
Zial co navrhujes nie je jednoducha metoda.

Skor treba pouzit arimeticke vlasnosti.
Zo zapisu $p^3+qp^2+2q^2p-q^3=0$ sa ( lahko) ukaze, ze p, (ak existuje) musi byt delitelom 1,-1......podobne pre q. ( otazka: ktoru vetu na to treba pouzit?)
Konstatacia, ze 1,-1 nie su riesenie rovnice staci.....atd.

Poznamka. Podobna metoda sa pouziva aj ked hladame rationalne korene polynomov z celymi koeficientami.

misaH · 22. 10. 2016 14:51

↑ vanok:

Aha ... :-)

Nadruhu · 22. 10. 2016 16:13

takze to co navrhol Eratosthenes je zle?

vanok · 22. 10. 2016 16:47

↑ Nadruhu:,
To sa tiez da pouzit. Ja som navrhol priamy dokaz.

Matematické Fórum

#1 22. 10. 2016 12:02 — Editoval Nadruhu (22. 10. 2016 12:42)

Dokazte ze ..

#2 22. 10. 2016 13:58

Re: Dokazte ze ..

#3 22. 10. 2016 14:42 — Editoval Eratosthenes (22. 10. 2016 14:43)

Re: Dokazte ze ..

#4 22. 10. 2016 14:50

Re: Dokazte ze ..

#5 22. 10. 2016 14:51

Re: Dokazte ze ..

#6 22. 10. 2016 16:13

Re: Dokazte ze ..

#7 22. 10. 2016 16:47

Re: Dokazte ze ..

Zápatí