Matematické Fórum

Nadruhu

Ahojte, mam za ulohu dokazat, ze nie je mozne euklidovsky skonstruovat pravidelny 9-uholnik.
Dostal som sa az sem:
$z=(cos \frac{2\pi}{9} + i sin \frac{2\pi}{9} )$
$z^9=(cos \frac{2\pi}{9} + i sin \frac{2\pi}{9} )^9$
$z=(cos 2\pi + i sin 2\pi )$ (Moivreova veta)
$z=1$
$z^9=1$
$z^9-1=0$
$(z^9-1):(z-1)=z^8+z^7+z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1$

a teda
$z^8+z^7+z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0$ (reciproka rovnica, pouzijem subtitucie)
$y=z+\frac{1}{z}$ , $y^2-2=z^2+\frac{1}{z^2}$ , $y^3-3y=z^3+\frac{1}{z^3}$ , $y^4-4y^2+2=z^4+\frac{1}{z^4}$
$y^4+y^3-3y^2+2y+1=0$

tato rovnica ma racionalny koren $y=-1$
Čo teraz?

Jj · 23. 10. 2016 14:40

Nadruhu napsal(a):
$y^4+y^3-3y^2+2y+1=0$

tato rovnica ma racionalny koren $y=-1$

Zdravím. Řekl bych, že nemá.

Nadruhu · 23. 10. 2016 14:42

aha a isto nema.. takze tato rovnica nema ziadny racionalny koren. Co to znamena?

vanok · 23. 10. 2016 15:05

Ahoj ↑ Nadruhu:,
Mozes aj pouzit https://en.m.wikipedia.org/wiki/Nonagon
kde najdes nutnu a dostatujucu podmienku nakonstrukciu pravidelnych n-uholnikov.

Nadruhu · 23. 10. 2016 15:11

hmm nieco po slovensky alebo po cesky?

vanok · 23. 10. 2016 15:39

↑ Nadruhu:,
Zial take nepoznam, skus na Google.
Sorry.

Eratosthenes · 23. 10. 2016 17:43

ahoj ↑ Nadruhu:,

nevím, co všechno můžete v důkazu použít. Já bych využil toho, že ke konstrukci pravidelného devítiúhelníka je třeba sestrojit úhel 40 stupňů. To je ekvivalentní trisekci 120 stupňů, což je pravítkem a kružítkem, jak známo neproveditelné.

Nadruhu · 23. 10. 2016 19:50

to ze 120 stupnov nie je mozne zostrojit pravidkom a kruzidkom mi akosi "znamo" nie je .. mate k tomu nejaky link?

Al1 · 23. 10. 2016 20:13

↑ Nadruhu:

Zdravím,

↑ Eratosthenes: přeci nenapsal, že nelze sestrojit úhel 120 st. On napsal, že není konstrukčně možná jeho trisekce, tj. narýsovat třetinu tohoto úhlu.

Nadruhu · 23. 10. 2016 20:33

aha uz chapem pointu .. ok vdaka. este jedna vec - vratme sa k nasmu 9-uholniku, vysla mi rovnica ktora nema racionalne korene , staci to ako dokaz ze nie je mozna konstrukcia pravidelneho 9 uholnika ked tato rovnica nema racionalne korene?

vanok · 23. 10. 2016 21:43

↑ Nadruhu:,
To nestaci.
Ale ako daleko mas ist v dokaze? Nebudu sa ta pytat : dokaz, ze trisekovat uhol nie je euklidovsky konstruktibilna. Alebo to staci citovat?

Eratosthenes · 23. 10. 2016 21:46

↑ Nadruhu:

Nejsem si jist. Pravítkem a kružítkem lze sestrojit součet, rozdíl, součin, podíl a druhou odmocninu. První čtyři operace odpovídají racionálním kořenům polynomu, ale ještě tam falíruje ta druhá odmocnina. Možná platí, že pokud polynom nemá racionální kořeny, nemá ani kořeny s tou odmocninou (kořeny z tzv. kvadratického rozšíření množiny Q). Pokud vím, tak to platí pro kubickou rovnici. Ale jestli i pro čtvrtý stupeň, to fakt nevím.

Eratosthenes · 23. 10. 2016 21:48

↑ vanok:

No tak trisekce úhlu se dá lehce vygooglovat...

vanok · 23. 10. 2016 21:59

↑ Eratosthenes:
Tu mas trochu o tom
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Constructible_number

Matematické Fórum

#1 23. 10. 2016 13:57 — Editoval Nadruhu (23. 10. 2016 13:58)

Dokazte nemoznost konstrukcie 9-uholnika

#2 23. 10. 2016 14:40

Re: Dokazte nemoznost konstrukcie 9-uholnika

Nadruhu napsal(a):

#3 23. 10. 2016 14:42

Re: Dokazte nemoznost konstrukcie 9-uholnika

#4 23. 10. 2016 15:05

Re: Dokazte nemoznost konstrukcie 9-uholnika

#5 23. 10. 2016 15:11

Re: Dokazte nemoznost konstrukcie 9-uholnika

#6 23. 10. 2016 15:39

Re: Dokazte nemoznost konstrukcie 9-uholnika

#7 23. 10. 2016 17:43

Re: Dokazte nemoznost konstrukcie 9-uholnika

#8 23. 10. 2016 19:50

Re: Dokazte nemoznost konstrukcie 9-uholnika

#9 23. 10. 2016 20:13

Re: Dokazte nemoznost konstrukcie 9-uholnika

#10 23. 10. 2016 20:33

Re: Dokazte nemoznost konstrukcie 9-uholnika

#11 23. 10. 2016 21:43

Re: Dokazte nemoznost konstrukcie 9-uholnika

#12 23. 10. 2016 21:46

Re: Dokazte nemoznost konstrukcie 9-uholnika

#13 23. 10. 2016 21:48

Re: Dokazte nemoznost konstrukcie 9-uholnika

#14 23. 10. 2016 21:59

Re: Dokazte nemoznost konstrukcie 9-uholnika

Zápatí