Matematické Fórum

Evkaa · 26. 10. 2016 15:01 — Editoval Evkaa (26. 10. 2016 15:48)

Zdravím, máme vyřešit tohle pomocí matematické indukce, poradil by mi někdo, jak dál postupovat:
Zadání příkladu je:
$(1+a)^{n}$ \ge $1 + n*a + \frac{n(n-1)}{2}*a^{2}$

Tak první krok je, že za n si dosadím 1, takže mi po úpravě výjde:
$(1+a)$ $\ge$ $(1+a)$

V dalším kroku udělám n=k:
$(1+a)^{k}$ $\ge$ $1 + a*k + \frac{k(k-1)}{2}*a^{2}$

V dalším kroku udělám n=k+1:
$(1+a)^{k+1}$ $\ge$ $1 +a (k+1) + \frac{k(k+1)}{2}*a^{2}$

Když si to poupravím, výjde mi:
$(1+a)(1+a)^{k}$ $\ge$ $1 +a (k+1) + \frac{k(k+1)}{2}*a^{2}$

Můžu se zeptat, jak tedy postupovat dál?

vanok · 26. 10. 2016 15:15

Ahoj ↑ Evkaa:,
Tvoj zaciatok nie je uz pravdivy.
Vsak toto $(1+a)>(1+a)$ neplati.

Evkaa · 26. 10. 2016 15:35

AHáá, já se omlouvám, má tam být větší nebo rovno...

vanok · 26. 10. 2016 17:10

$\ge 3$ ze.

Kristynaaa · 26. 10. 2016 19:22

Ja vim. Jen proste mi nebylo nejak extra odpovezenk a neumim s tim hnout.

vanok · 26. 10. 2016 20:11 — Editoval vanok (26. 10. 2016 21:35)

↑ Evkaa:
Po oprave je to lepsie, ale treba napisat lepsie tvoju structuru dokazu. A doplnit to najdolezitejsie, co je dokaz v indukcnom kroku.

Tak to by som pisal napr. takto
Chceme dokazat matematickou indukciou, ze $1 + n*a + \frac{n(n-1)}{2}*a^{2}\ge (1+a)^{n}$ (P(n)). pre vsetki $n \in \Bbb N$ ( prepokladame ako je zvykom v Cesku ze nula nie je prirodzene cislo).
Dokaz.
Iniciacia.
Preto je treba overit $P(1)$ co sa pise:
$(1+a) \ge (1+a)$ hned vidime ze plati.
Indukcny krok. Co znamena, predpoklame $P(k)$ , cize
$(1+a)^{k} \ge 1 + a*k + \frac{k(k-1)}{2}*a^{2}$
a vdaka tomu dokazeme $P(k+1)$ co sa pise
$(1+a)^{k+1}$ $\ge$ $1 +a (k+1) + \frac{k(k+1)}{2}*a^{2}$

Ked vynasobime obe strany $P(k)$ z $a+1$ dostaneme
$(1+a)(1+a)^{k}\ge (1+a).(1 + a*k + \frac{k(k-1)}{2}*a^{2})$
doteraz som opravil tvoje nezrozumitelne pokusy na zrozumitelny text. ( poriadne to prestuduj)

Teraz treba skusit nieco najst aby z posledneho vzorca si dostala $P(k+1)$ . Co ukonci tvoj dokaz.... hladaj trochu.