Matematické Fórum

aferon · 28. 10. 2016 15:51

Zdravím, chci se zeptat, zda tento postup pro určení lokálních extrémů je správný. děkuji.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-10/62703_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek.jpg

Al1 · 28. 10. 2016 16:08 — Editoval Al1 (28. 10. 2016 16:50)

↑ aferon:

Zdravím,

pro určení def. oboru skutečně máš, že $x^{2}+y^{2}>0$ . Které dvojice (x,y) toto splňují?

A dále: proč dosazuješ x=0? Edit: to je skutečně možné, neboť z druhé rovnice plyne, že
$x\bigg(\ln (x^{2}+y^{2})+\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\bigg)=0$ . To nastane, právě když
$x=0\vee \bigg(\ln (x^{2}+y^{2})+\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=0\bigg)$

Další řešení dostaneš, když soustavu sestavenou z obou derivací odečteš a rozložíš na součin.

aferon · 28. 10. 2016 16:30 — Editoval aferon (28. 10. 2016 16:32)

Hledám stacionární body, tedy jednotlivé parciální derivace pokládám rovno nule. Proč píšu x=0? Ptám se, kdy tato rovnice bude splněna v případě, že x bude rovno nule, jaké tedy musí být y, aby to platilo.
Napsal jsem si soustavu, která vznikla odečtením a nevidím v tom význam.
$yln(x^{2}+y^{2})+\frac{2x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}-xln(x^{2}+y^{2})-\frac{2y^{2}x}{x^{2}+y^{2}}=0$
Edit: až teď jsem si všiml Vašeho editu

Al1 · 28. 10. 2016 16:37 — Editoval Al1 (28. 10. 2016 16:39)

↑ aferon:

Můžeme zcela náhodně volit různá x, vypočítat k nim y a pak zkoumat Hessiány.
Jistější způsob je ale vyřešit soustavu. Podívej se ještě na příspěvek #2, doplnil jsem ho.

K odečtení: rozkládej na součin

$L=yln(x^{2}+y^{2})-xln(x^{2}+y^{2})+\frac{2x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}-\frac{2y^{2}x}{x^{2}+y^{2}}=\nl =(y-x)\ln (x^{2}+y^{2})-(y-x)\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})}=\ldots$

aferon · 28. 10. 2016 16:44 — Editoval aferon (28. 10. 2016 16:44)

... $=(y-x)*(ln(x^{2}+y^{2})-\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}})$ ...v této úpravě nevidím význam, proč se tato úprava dělá...

Al1 · 28. 10. 2016 16:51

↑ aferon:

Součin je roven nule, právě když je roven nule aspoň jeden z činitelů.

aferon · 28. 10. 2016 16:55

↑ Al1:
takže mám teď za x dosadit nulu a vyřešit?

Al1 · 28. 10. 2016 17:02

↑ aferon:

část řešení máš již ve svém prvním příspěvku. Jen se pozastav nad dvojicí (0,0)

Z rozkladu na součin v #5 řešíš navíc $(y-x)=0$ nebo $(ln(x^{2}+y^{2})-\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}})=0$

aferon · 28. 10. 2016 17:10 — Editoval aferon (28. 10. 2016 17:22)

ale dvojice (0;0) nepatří do def. oboru
$y-x=0...x=y$ a po dosazení do $(ln(x^{2}+y^{2})-\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}})=0$ dostávám $y=\mp \sqrt{\frac{e}{2}}$

Al1 · 28. 10. 2016 17:26

↑ aferon:

aferon napsal(a):
ale dvojice (0;0) nepatří do def. oboru

to jsi zatím nikde nenapsal, až teď.

y=x dosad např. do první rovnice.

aferon · 28. 10. 2016 17:34 — Editoval aferon (28. 10. 2016 17:55)

Už tomu začínám rozumět.
Řeším vlastně tři případy:
a) Z první rovnice plyne, že y=0, tuto skutečnost dosadím do druhé rce a získám body
b) Z druhé rovnice plyne, že x=0 a to dosadím to 1 rce
3) uvažuju možnost kdy se současně x a y nule nerovná, pak můžu vydělit první rovnici rovnicí druhou
nebo tomu tak není?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-10/70046_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek.jpg
pro ten bod číslo 3 mi vlastně vyšla stejná podmínka, jak jste psal (x-y)=0

Al1 · 28. 10. 2016 19:40

↑ aferon:

1. a 2. je v pořádku
ad3. Dělit rovnici rovnicí není dobrý nápad. Napravo máš nuly. A kolik je 0/0 ?
Ve 3.bodě bych spíše volil rovnice odečíst, pak rozklad na součin a získat
$x=y\vee \ln (x^{2}+y^{2})=\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}$
A dosadit do jedné z původních rovnic.

aferon · 29. 10. 2016 09:02

↑ Al1:
Děkuji za vysvětlení. Již tomu rozumím

Al1 · 29. 10. 2016 09:14

↑ aferon:

Jen pro kontrolu. Vyšetřuješ body
$[-1,0], [1,0], [0,-1], [0,1], [\pm\frac{1}{ \sqrt{2\mathrm{e}^{}}}, \pm\frac{1}{ \sqrt{2\mathrm{e}^{}}}]$

Matematické Fórum

#1 28. 10. 2016 15:51

lokální extrémy funkce více proměnných

#2 28. 10. 2016 16:08 — Editoval Al1 (28. 10. 2016 16:50)

Re: lokální extrémy funkce více proměnných

#3 28. 10. 2016 16:30 — Editoval aferon (28. 10. 2016 16:32)

Re: lokální extrémy funkce více proměnných

#4 28. 10. 2016 16:37 — Editoval Al1 (28. 10. 2016 16:39)

Re: lokální extrémy funkce více proměnných

#5 28. 10. 2016 16:44 — Editoval aferon (28. 10. 2016 16:44)

Re: lokální extrémy funkce více proměnných

#6 28. 10. 2016 16:51

Re: lokální extrémy funkce více proměnných

#7 28. 10. 2016 16:55

Re: lokální extrémy funkce více proměnných

#8 28. 10. 2016 17:02

Re: lokální extrémy funkce více proměnných

#9 28. 10. 2016 17:10 — Editoval aferon (28. 10. 2016 17:22)

Re: lokální extrémy funkce více proměnných

#10 28. 10. 2016 17:26

Re: lokální extrémy funkce více proměnných

aferon napsal(a):

#11 28. 10. 2016 17:34 — Editoval aferon (28. 10. 2016 17:55)

Re: lokální extrémy funkce více proměnných

#12 28. 10. 2016 19:40

Re: lokální extrémy funkce více proměnných

#13 29. 10. 2016 09:02

Re: lokální extrémy funkce více proměnných

#14 29. 10. 2016 09:14

Re: lokální extrémy funkce více proměnných

Zápatí