Matematické Fórum

loplpo · 30. 10. 2016 16:08

Mám tento příklad:

$\lim_{n\to\infty }{n(\sqrt[3]{n^3+3}-\sqrt{n^2+2})}$

Jak to mám usměrnit, abych se zbavil odmocnin?

Limita má vyjít -1.

Andrejka3 · 30. 10. 2016 17:07

Ahoj. Zkusil jsi pouzit vzorecek na a^6-b^6 ?

loplpo · 30. 10. 2016 17:21

To prave nechapu, jak to pouzit.

Al1 · 30. 10. 2016 17:43

↑ loplpo:

Zdravím,

uprav si odmocniny $\sqrt[6]{(n^3+3)^2}; \sqrt[6]{(n^2+2})^3$

vanok · 30. 10. 2016 17:49 — Editoval vanok (30. 10. 2016 21:09)

Ahoj
Mozes skusit aj
$\lim_{n\to\infty }{n((\sqrt[3]{n^3+3}-1)-(\sqrt{n^2+2})-1))}$ r

loplpo · 30. 10. 2016 20:12

↑ Andrejka3:
Kdyz to upravim na spolecnou mocninu (1/6), tak co pak s tim? Potreboval bych ukazat postup (aspon zacatek), protoze ja to v tom asi nevidim.

jarrro · 30. 10. 2016 20:47 — Editoval jarrro (02. 11. 2016 14:57)

$\tiny{\sqrt[3]{n^3+3}-\sqrt{n^2+2}=\frac{$n^3+3$^2-$n^2+2$^3}{$\sqrt[6]{\(n^3+3$^2}\)^5+$\sqrt[6]{\(n^3+3$^2}\)^4\sqrt[6]{$n^2+2$^3}+$\sqrt[6]{\(n^3+3$^2}\)^3$\sqrt[6]{\(n^2+2$^3}\)^2+$\sqrt[6]{\(n^3+3$^2}\)^2$\sqrt[6]{\(n^2+2$^3}\)^3+\sqrt[6]{$n^3+3$^2}$\sqrt[6]{\(n^2+2$^3}\)^4+$\sqrt[6]{\(n^2+2$^3}\)^5}}$

Pavel · 30. 10. 2016 21:52

↑ loplpo:

Doporučuji vyřešit dvě limity:

$\lim_{n\to\infty }n\left(\sqrt[3]{n^3+3}-\sqrt{n^2+2}\right)&=\lim_{n\to\infty }n\left(\sqrt[3]{n^3+3}-n+n-\sqrt{n^2+2}\right)\\&=\lim_{n\to\infty }n\left(\sqrt[3]{n^3+3}-n\right)+\lim_{n\to\infty }n\left(n-\sqrt{n^2+2}\right)=\dots$

vanok · 30. 10. 2016 22:28 — Editoval vanok (30. 10. 2016 23:25)

Ahoj ↑ Pavel:,
Je mozne urobit vypocet ako ↑ vanok:, no sa mi zda ze rozdelit na dve casti da dve nekonecne limity
( asymptoticky rozvoj v +\infty da -1+1/n.....)
Edit. Nepozorne citanie posledneho prispevku.

Pavel · 30. 10. 2016 22:38 — Editoval Pavel (30. 10. 2016 22:39)

↑ vanok:

Obě limity

$\lim_{n\to\infty }n\left(\sqrt[3]{n^3+3}-n\right),\qquad\lim_{n\to\infty }n\left(n-\sqrt{n^2+2}\right)$

existují a jsou konečné. V součtu dávají výsledek zadané limity.

Pavel · 30. 10. 2016 23:09

↑ vanok:

Ty asymptotické rozvoje v nekonečnu nejsou dobře. Platí totiž

$n\left(\sqrt[3]{n^3+3}-n\right)&=\frac 1n - \frac 1{n^4} + \frac 5{3n^7} - \frac{10}{3n^{10}} + \mathcal{O}\left(\frac 1{n^{11}}\right)\,,\qquad n\to\infty\\ n\left(n-\sqrt{n^2+2}\right)&=-1 + \frac 1{2n^2} - \frac 1{2n^4} + \frac 5{8n^6} - \frac 7{8 n^8} + \frac{21}{16 n^{10}}+ \mathcal{O}\left(\frac 1{n^{11}}\right)\,,\qquad n\to\infty$

vanok · 30. 10. 2016 23:22

Ano mas pravdu, ja som stale ostal na $\lim_{n\to\infty }{n((\sqrt[3]{n^3+3}-1)-(\sqrt{n^2+2})-1))}$ A som nepozorne cital to n ako 1 v mojom prispevku.
No tak skryjem moje chybne poznamky.
Pekna idea, ten dokaz.

Matematické Fórum

#1 30. 10. 2016 16:08

Rozdíl nestejných odmocnin

#2 30. 10. 2016 16:43 — Editoval misaH (30. 10. 2016 16:44) Příspěvek uživatele misaH byl skryt uživatelem misaH.

#3 30. 10. 2016 17:07

Re: Rozdíl nestejných odmocnin

#4 30. 10. 2016 17:21

Re: Rozdíl nestejných odmocnin

#5 30. 10. 2016 17:43

Re: Rozdíl nestejných odmocnin

#6 30. 10. 2016 17:43 Příspěvek uživatele jarrro byl skryt uživatelem jarrro. Důvod: Pozde

#7 30. 10. 2016 17:49 — Editoval vanok (30. 10. 2016 21:09)

Re: Rozdíl nestejných odmocnin

#8 30. 10. 2016 20:12

Re: Rozdíl nestejných odmocnin

#9 30. 10. 2016 20:47 — Editoval jarrro (02. 11. 2016 14:57)

Re: Rozdíl nestejných odmocnin

#10 30. 10. 2016 21:52

Re: Rozdíl nestejných odmocnin

#11 30. 10. 2016 22:28 — Editoval vanok (30. 10. 2016 23:25)

Re: Rozdíl nestejných odmocnin

#12 30. 10. 2016 22:38 — Editoval Pavel (30. 10. 2016 22:39)

Re: Rozdíl nestejných odmocnin

#13 30. 10. 2016 22:50 — Editoval vanok (30. 10. 2016 22:52) Příspěvek uživatele vanok byl skryt uživatelem vanok. Důvod: Nepozornost

#14 30. 10. 2016 23:09

Re: Rozdíl nestejných odmocnin

#15 30. 10. 2016 23:22

Re: Rozdíl nestejných odmocnin

Zápatí