Matematické Fórum

↑ Antoan:

48 = 3 * 16, ukážeme teda, že 3 i 16 dělí zadaný výraz (označím si ho jako N).

i) zřejmě n(n-1)(n-2) dělí N, ale 3 dělí součin n(n-1)(n-2), protože to jsou tři po sobě jdoucí čísla a jedno z nich je určitě dělitelné třemi, proto i 3 dělí N

ii) podobně n(n-2)(n-1)(n+1) dělí N, součin n(n-2)(n-1)(n+1) je dělitelný čtyřmi (proč?). Pokud je čtyřmi dělitelný činitel n nebo n+1, jsme hotovi, protože když 4 dělí (nějaké) M, potom 16 dělí M^2. Pokud čtyři dělí n-2, pak 2 dělí n (proč?), takže 4 dělí n^2 a 16 dělí n^2(n-2). Podobně pro případ, kdy 4 dělí n-1.

Máme tak, že 3 a 16 dělí N, tedy 48 dělí N. Hotovo.