Matematické Fórum

↑ misaH:

Takhle bych to řešila já:
(Pokud budu plácat hlouposti, tak mi klidně vynadejte.)

U prázdné množiny si řeknu, že všechna čísla od -nekonečna do +nekonečna jsou jak horními, tak dolními závorami.
Tudíž supM=-nekonečno a infM=+nekonečno. ( M\in \{\} )

U množiny přirozených čísel budu uvažovat podobně a řeknu si, že nejmenší číslo v množině je 1, tudíž největší dolní závora je 1. U suprema jsem trochu zaseklá, protože největší prvek množiny přirozených čísel je +nekonečno.

A u reálných čísel ani nemusím říkat, že si nevím rady, protože \mathbb{R} je množina prvků v intervalu od -nekonečna do +nekonečna.

↑ Momok:

Ahoj.
Zdravím i ostatní diskutující.

Pojem suprema resp. infima dané množiny jistých reálných čísel závisí na tom, zda jako její  horní resp. dolní
závory  přípouštíme pouze "konečná" reálné čísla nebo též "nekonečná reálná čísla"  . Podívej se do
vašich  studijních materiálů,  jak to máte zavedeno ve vašem kursu.

A. Dejme tomu, že připouštíme druhou variantu, která je o něco "pokročilejší". Pro libovolné "konečné" reálné číslo
definujeme ,  takže :

U prázdné množiny je to přesně tak, jak jsi napsala.

Množina přirozených čísel ovšem svůj největší prvek NEMÁ, avšak má tzv. Archimedovu vlastnost,  z níž plyne, že žádné
(konečné) reálné číslo nemůže být její horní závorou. Jedinou její horní závorou je tady (ale není to př.č.).

Jak je to s množinou všech reálných čísel, je nyní patrně jasné. 

B. Pokud bychom  "nekonečná reálná čísla"  neznali (nebo měli z nějakých didaktických důvodů zakázáno
s nimi pracovat), jak patrně předpokládá kolega ↑ vanok:,  pak skutečně prázdná množina by neměla supremum ani
infimum  -  analogicky pro neomezené množiny.

Moc Vám děkuju :), hodně jste mi všichni pomohli.