Matematické Fórum

MisaKr · 01. 11. 2016 22:56

Ahoj :) Prosím vás o pomoc. Mám dokázat, že zobrazení $f:N\overrightarrow{}N$ s předpisem $f (x) = x^2 +x+1$ je prosté.

Když použiji tuto definici: $(\forall x_{1},x_{2}\in N)(f(x_{1}) = f(x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2})$ tak se mi zdá, že se nikam nedostanu:
$x_{1}^{2}+x_{1}=x_{2}^{2}+x_{2}$ . Nevím, jak tam zakomponovat to, že x jsou přirozená.

byk7 · 01. 11. 2016 22:58

↑ MisaKr:

Začal jsi dobře, z $x_{1}^{2}+x_{1}=x_{2}^{2}+x_{2}$ dostaneme $$x_1^2-x_2^2$+$x_1-x_2$=0$ . Co můžeme udělat s první závorkou?

MisaKr · 01. 11. 2016 23:06

$(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})=-(x_{1}-x_{2})$
$x_{1}+x_{2}=-1$
$x_{2}=-1 -x_{1}$

Snad to jde takhle upravit.... tím jsem ale naopak zjistila, že prostá není :(

misaH · 02. 11. 2016 00:00 — Editoval misaH (02. 11. 2016 00:01)

↑ MisaKr:

Keď je N do N, tak prosté je...

misaH · 02. 11. 2016 00:03

$$x_1^2-x_2^2$+$x_1-x_2$=0$

$(x_1-x_2)(x_1+x_2+1)=0$

byk7 · 02. 11. 2016 00:05 — Editoval byk7 (02. 11. 2016 00:06)

↑ MisaKr:
edit: misa byla o něco rychlejší, ale už to tu nechám

Děláš chybu v tom, že dělíš. Co kdyby bylo $x_1=x_2$ ? Pak dělíš nulou a máš problém.

$$x_1^2-x_2^2$+$x_1-x_2$=0$
$$x_1-x_2$$x_1+x_2$+$x_1-x_2$=0$
$$x_1-x_2$$x_1+x_2+1$=0$

A teď nastupuje diskuze, kdy je ten součin nulový.

misaH · 02. 11. 2016 00:06

↑ byk7:

:-)

Marian · 02. 11. 2016 05:19 — Editoval Marian (02. 11. 2016 05:20)

Rád bych pouze doplnil, že lze použít také jiný elementární přístup. Danou funkci lze totiž vnímat jako součet dvou ostře rostoucích funkcí ( $\scriptstyle x^2$ a $\scriptstyle x+1$ ). To, že jsou zmíněné funkce rostoucí na deklarovaném definičním oboru, lze ukázat ihned z definice ostře rostoucí funkce. Je však dobře známo, že ostře rostoucí funkce (v našem případě součet $\scriptstyle f(x)=x^2+(x+1)$ ) je prostá, což dokazuje výše uvedené závěry.

Uvádím tento přístup proto, že diskuse při ověřování definice ostře rostoucí funkce je na můj vkus trochu příjemnější.

vanok · 02. 11. 2016 05:39

Ahoj ↑ Marian:
Mne sa velmi paci pouzitie pojmu ostře rostoucí funkce.
Skoda, ze sa v cz a sk vseobecne nepouziva.

Matematické Fórum

#1 01. 11. 2016 22:56

Prostá funkce

#2 01. 11. 2016 22:58

Re: Prostá funkce

#3 01. 11. 2016 23:06

Re: Prostá funkce

#4 02. 11. 2016 00:00 — Editoval misaH (02. 11. 2016 00:01)

Re: Prostá funkce

#5 02. 11. 2016 00:03

Re: Prostá funkce

#6 02. 11. 2016 00:05 — Editoval byk7 (02. 11. 2016 00:06)

Re: Prostá funkce

#7 02. 11. 2016 00:06

Re: Prostá funkce

#8 02. 11. 2016 05:19 — Editoval Marian (02. 11. 2016 05:20)

Re: Prostá funkce

#9 02. 11. 2016 05:39

Re: Prostá funkce

Zápatí