Matematické Fórum

Vasekpasek · 03. 11. 2016 12:12

Ahoj,
nevím si rady s následujícím zadáním:
Máme rekurentní posloupnost:
$a_{n+1}=\frac{1}{3}\left(2a_{n}+\frac{8}{a_{n}^{2}}\right);\ a_{1}=1$
Úkolem je vyjádřit rozdíl $a_{n}-a_{n+1}$ na základě výpočtu $a_{n}$ , dokázat, že tento rozdíl nabývá kladných hodnot a tím pádem, že se jedná o klesající posloupnost.
Napadlo mě, že bych to z rekurentně vyjádřené posloupnosti převedl na vyjádření a-ntého členu, ale ani to jsem bohužel nedokázal.
Těch úkolů tam bylo víc, např. dokázat, že všechny členy od druhého výše jsou větší než 2, což bylo celkem snadné, vyčíslení prvních deseti členů jsem zmákl pomocí Excelu, ale tohle fakt nevím.

byk7 · 03. 11. 2016 12:36

$a_{n}-a_{n+1}=a_n-\frac{1}{3}\left(2a_{n}+\frac{8}{a_{n}^{2}}\right)=\frac{1}{3}$a_n-\frac{8}{a_n^2}$$
takže chceš ukázat, že $a_n>8/a^2_n$ , což už by mělo být jednodušší.

vlado_bb

↑ Vasekpasek:Aku hodnotu ma podla tvojho vypoctu $a_2$ ? Podla mna $a_1-a_2$ kladne nie je ... teda tato postupnost nie je klesajuca.

Vasekpasek · 03. 11. 2016 13:15

↑ vlado_bb: Souhlasím. V zadání to sice není explicitně napsáno, ale celá klesající není. Nicméně po vyčíslení prvních deseti členů se ukazuje, že od toho druhého už skutečně klesající je.

Vasekpasek · 03. 11. 2016 13:26

↑ byk7: Aha, takhle jednoduše? Neskutečné, že mě to nenapadlo... :(
Takže
$a_{n}>2$ ,
což platí pro všechna
$\{a_{n}\}_{n=2}^{\infty }$ ,
čímž je dokázáno, že posloupnost je od druhého prvku klesající?!

Matematické Fórum

#1 03. 11. 2016 12:12

Rekurentně zadaná posloupnost

#2 03. 11. 2016 12:36

Re: Rekurentně zadaná posloupnost

#3 03. 11. 2016 12:38 — Editoval vlado_bb (03. 11. 2016 12:41)

Re: Rekurentně zadaná posloupnost

#4 03. 11. 2016 13:15

Re: Rekurentně zadaná posloupnost

#5 03. 11. 2016 13:26

Re: Rekurentně zadaná posloupnost

Zápatí