Matematické Fórum

byk7 · 03. 11. 2016 09:54

Zdravím,

co nám ty dva silnější případy spojitosti dávají navíc oproti "pouhé" spojitosti? Tj. jaké jiné zajímavé vlastnosti mají stejnoměrně, resp. absolutně (popř. Lipschitzovsky), spojité funkce oproti "jen" spojitým funkcím?

jarrro · 03. 11. 2016 14:51 — Editoval jarrro (03. 11. 2016 14:52)

Napríklad každá funkcia tvaru
$F{$x$}=\int\limits_{a}^{x}{f{$t$}\mathrm{d}t}$
Je absolútne spojitá teda napr. rozdelenia pravdepodobnosti s neabsolútne spojitou ale spojitou distribučnou fciou nemajú hustotu vzhľadom na Lebesguovu mieru ( a nie sú ani diskrétne).

Bati · 03. 11. 2016 16:06 — Editoval Bati (03. 11. 2016 16:32)

Ahoj.
To co uvedl jarrro, je dokonce v jistém smyslu definující vlastnost: funkce je absolutně spojitá, právě když existuje Leb. integrovatelná funkce g, že $f(x)=f(a)+\int_a^xg$ . Zřejmě pak $g'=f$ skoro všude ve zvoleném intervalu.

Dále mám rád charakterizaci pomocí Sobolevových prostorů $W^{1,p}(\Omega)=\{v\in\L^p(\Omega);v'\in L^p(\Omega)\}$ , kde $v'$ značí slabou derivaci $v$ (tj. distributivní derivaci, která je navíc $L^1_{loc}$ funkcí). Pokud $\Omega$ má hezkou hranici tak platí $AC=W^{1,1}$ a $Lip=W^{1,\infty}$ . To jednak poukazuje na to, co se dá čekat od Sobolevovské funkce, ale taky na to, že mezi $AC$ a $Lip$ je "hodně místa".

Také je zajímavé sledovat, kam do této škály patří Holderovsky spojité funkce, které vlastně jen trochu zobecňují pojem lipschitzovskosti. Pro $p>n$ , kde $n$ je dimenze $\Omega$ platí že prostor $W^{1,p}$ lze ztotožnit s Holderovsky spojitymi funkcemi s exponentem $1-\tfrac np$ . Případ $p=n$ tohoto vnoření pak vede k zajímavým prostorům (např. $L^{\infty,p}(\log L)^{-1}$ ) a spojitost se ztrácí (pro $d>1$ ).

Stejnoměrně spojité funkce jsou tak trochu mimo tuhle škálu, protože zhruba řečeno stejnoměrná spojitost znamená spojitost na kompaktní množině.

Další možný úhel pohledu nabízí pojem "modulus of continuity" (nevím jak se to jmenuje česky).

vanok · 04. 11. 2016 03:37

Dolezita teorema je https://en.m.wikipedia.org/wiki/Heine–Cantor_theorem

vanok · 05. 11. 2016 19:23

Mozna ta zaujima aj kde v analyze sa pouziva uniformna (=rovnomerna) spojitost
Tak. nejake situacie, co ma napadli
1) komppacita
1.1 tm. Heine
1.2Konstrukcia Riemannoveho integralu
1.3 periodicke funkcie

2) predlzenie funkcii
2.1 Tm. rovnomerneho spojiteho predlzenia
2.2 pripad lin.funkcii; Hahn-Banach

3) aproximacia spojitych funkcii
3.1 modul spojitosti
3.2 Bersteinove polynomy, polynomicka aprocimacia
3.3 convolucia; tm. Fejer
4) ekvispojitost (= equicontinuité)
4.1 Tm.Ascoli
4.2 Cauchy-Peano
4.3 Montel

Prhlh si trochu vsetki tie temy.

vanok · 05. 11. 2016 19:35 — Editoval vanok (05. 11. 2016 19:58)

Co sa tyka Lipschitza
Pozri aspon sem
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théor&# … -Lipschitz
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Picard–Lindelöf_theorem

Iste najdes sam aj ine aplikacie ako na diferencialne rovnice.

Co sa tyka vlasnosti co potrebujes len spojitost, pozri do tvojej oblubenej knihy z analyzy a pozri si na dokazane vlasnosti , pred tym ako sa uvedu dalsie pojmy o ktorych pises....

Matematické Fórum

#1 03. 11. 2016 09:54

Stejnoměrná a absolutní spojitost

#2 03. 11. 2016 14:51 — Editoval jarrro (03. 11. 2016 14:52)

Re: Stejnoměrná a absolutní spojitost

#3 03. 11. 2016 16:06 — Editoval Bati (03. 11. 2016 16:32)

Re: Stejnoměrná a absolutní spojitost

#4 04. 11. 2016 03:37

Re: Stejnoměrná a absolutní spojitost

#5 05. 11. 2016 19:23

Re: Stejnoměrná a absolutní spojitost

#6 05. 11. 2016 19:35 — Editoval vanok (05. 11. 2016 19:58)

Re: Stejnoměrná a absolutní spojitost

Zápatí