Matematické Fórum

dominiksep · 03. 11. 2016 20:05

Ahoj,
chtěl bych se zeptat, zda mám správně přepsané výroky pro definici suprema množiny $\{\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}|n \in \mathbb{N}\}$

1) $\left(\forall n \in \mathbb{N}\right)\left( \frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}<+\infty \right)$
2) $\left( \forall \alpha \in \mathbb{R}\right)\left(\exists n \in \mathbb{N}\right)\left( \frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}>\alpha \right)$

Úplně si nejsem jistý, co přesně mám napsat. Vlastně by stačilo jen napsat, že množina není shora omezená, ale v zadání vyloženě stojí napište, co je třeba ověřit, abychom z definice suprema dokázali vztah
$sup \{\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}|n \in \mathbb{N}\}=+\infty$
Proto jsem chtěl užít výroky uvedené v definici suprema.
Děkuji

vanok · 03. 11. 2016 20:39

Ahoj ↑ dominiksep:,
Najprv urob tuto upravu
$\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\frac {1.(\sqrt {n+1}+\sqrt{n})}{(\sqrt {n+1}-\sqrt{n}).(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\sqrt{n+1}+\sqrt n$

Rumburak

↑ dominiksep:

Ahoj.

Ano, chápeš to správně, přesně v souladu s definicí suprema je potřeba ověřit platnost výroků, které jsi napsal.

V tomto případě se to ovšem poněkud zjednoduší:

Zkoumaná množina je podmnožinou množiny reálných čísel a je-li kandidátem na její supremum $+\infty$ , potom první
z dokazovaných výroků je splněn triviálně. Takže "v praxi" pak už opravdu stačí podrobně dokázat pouze ten
druhý výrok, který de facto říká, že daná množina není shora omezená.

Kolega ↑ vanok:, kterého také zdravím, Ti naznačuje cestu k důkazu toho druhého výroku.

Matematické Fórum

#1 03. 11. 2016 20:05

Definice suprema při sup M = +nekonečno

#2 03. 11. 2016 20:39

Re: Definice suprema při sup M = +nekonečno

#3 04. 11. 2016 10:07 — Editoval Rumburak (04. 11. 2016 14:41)

Re: Definice suprema při sup M = +nekonečno

Zápatí