Matematické Fórum

Weyney · 03. 11. 2016 22:36

Hezký večer,

už několik hodin se snažím vyřešit a především dokázat příklad matematickou indukcí (a jakožto čerstvý vysokoškolák jsem naprosto v pasti). Nyní jsem se ale dostala do fáze, kdy si nejsem jistá, zda je už důkaz hotov, či nikoliv. Celý příklad zde nebudu zbytečně uvádět (mám ho spočítaný, už pouze potřebuji dokázat poslední část, jestli vůbec).

Zasekla jsem se v této části (indukčního kroku):
$7/4^{2x+1}+3^{2x+1}$

Potřebovala bych dokázat, že číslo 7 dělí $4^{2x+1}+3^{2x+1}$ . Mocnina $^{2x+1}$ při tom znázorňuje liché číslo, jakožto obecně daný fakt. V tomhle kroku jsem se zasekla a nevím, co s tím mám dělat. Logicky totiž vyplývá, že když čtverka i trojka budou na stejnou lichou mocninu, jejich součet bude vždy dělitelný sedmi. Mohl by mi někdo poradit, zda dělitelnost sedmičkou opravdu potřebuji dokázat a případně jak? Už si opravdu nevím rady.

Předem děkuji za jakoukoliv pomoc.

Al1 · 03. 11. 2016 22:38

↑ Weyney:

Zdravím,

napiš, co chceš dokázat. Od toho se odvodí zbytek.

Weyney · 03. 11. 2016 22:43

↑ Al1:
Zdravím, teď nejspíš úplně nechápu, co mám napsat. To, co chci dokázat, už píšu výše. Potřebuju dokázat, že výraz $4^{2x+1}+3^{2x+1}$ je dělitelný sedmi. Pokud je to vůbec nutné dokazovat.

Al1 · 03. 11. 2016 22:50 — Editoval Al1 (03. 11. 2016 22:51)

↑ Weyney:

Dobře, zmátl mě ten indukční krok v závorce. Předpokládáme, že x je přirozené číslo

$7/4^{2x+1}+3^{2x+1}$

pro x=1 platí
pro x=k dostaneme předpoklad, že $4^{2k+1}+3^{2k+1}$ je dělitelné sedmi

pro x=k+1 dokazujeme, že $4^{2(k+1)+1}+3^{2(k+1)+1}$ je dělitelné sedmi.

Provedeme úpravu
$4^{2(k+1)+1}+3^{2(k+1)+1}=\nl =4^{(2k+1)+2}+3^{(2k+1)+2}=16\cdot4^{2k+1}+9\cdot 3^{2k+1}=(9+7)\cdot4^{2k+1}+9\cdot 3^{2k+1}= \nl =7\cdot4^{2k+1}+9(4^{2k+1}+3^{2k+1})$

První člen součtu je dělitelný sedmi a výraz v závorce také - využili jsme indukční předpoklad.

Pavel · 03. 11. 2016 22:53

↑ Weyney:

Je indukce nutná? Pokud ne, existuje mnohem jednodušší důkaz dělitelnosti 7.

Weyney · 03. 11. 2016 23:12

↑ Pavel:
Indukce určitě nutná není, spíš naopak. V příkladě (celkovém, který zde nepíšu) indukce právě využívám a dostala jsem se v ní k výrazu, který zde uvádím (a ten bych ráda nějak upravila dál, aby z něj vyplynulo, že je opravdu dělitelný sedmi).

Omlouvám se za svou neschopnost lepšího vyjadřování, ale po tolika hodinách počítání jsem už zmatená jak lesní včela.

Pavel · 03. 11. 2016 23:25

↑ Weyney:

Použij vzorec

$a^n+b^n=(a+b)\cdot(a^{n-1}-a^{n-2}b+\dots-ab^{n-2}+b^{n-1}),$

kde $n$ je liché číslo. Pak se ukáže, že výraz v první závorce bude roven 7. Zbytek je pak jasný.

Weyney · 03. 11. 2016 23:32 — Editoval Weyney (03. 11. 2016 23:36)

Mockrát děkuji za veškeré rady. :) Teď už snad vše dopočítám.

Matematické Fórum

#1 03. 11. 2016 22:36

Matematický důkaz

#2 03. 11. 2016 22:38

Re: Matematický důkaz

#3 03. 11. 2016 22:43

Re: Matematický důkaz

#4 03. 11. 2016 22:50 — Editoval Al1 (03. 11. 2016 22:51)

Re: Matematický důkaz

#5 03. 11. 2016 22:53

Re: Matematický důkaz

#6 03. 11. 2016 23:12

Re: Matematický důkaz

#7 03. 11. 2016 23:25

Re: Matematický důkaz

#8 03. 11. 2016 23:32 — Editoval Weyney (03. 11. 2016 23:36)

Re: Matematický důkaz

Zápatí