Matematické Fórum

Quick1 · 03. 11. 2016 22:02 — Editoval Quick1 (03. 11. 2016 22:02)

Dobrý den, potřeboval bych poradit, budeme psát test na matice zobrazení.
Konkrétně mi jde o matici rotace:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-11/06759_matice.PNG
Setkal sem se však i s její "druhou verzí" kdy je spodní sinus kladný a horní záporný. Mohl by mi někdo vysvětlit, kdy se používá která? Napadlo mě, že by to mohlo záležet na směru otočení, ale to by spíš měnil znaménko, úhel, o který otáčíme, ne samotná funkce, ne? Navíc sem na internetu našel několik si protiřečících použití těch matic, kdy jeden droj tvrdil, že je matice na obrázku pro otočení proti směru ručiček a druhý tvrdil, že po směru. Děkuji.

Stýv · 03. 11. 2016 23:53

jaký je rozdíl mezi sin(-x) a -sin(x)?

Quick1 · 04. 11. 2016 00:10 — Editoval Quick1 (04. 11. 2016 00:12)

No vlastně žádný. Ale, kdybych dosazoval -x (kde x je ten úhel), změnilo by to znaménka všech čtyř gon. fcí, ne pouze dvou.

No a kdy se teda užívá která? Proti směru ručiček + a po směru -? Jde mi o to, že sem viděl několik zdrojů, které si navzájem protiřečily. Jak to teda je?

Eratosthenes

>> No vlastně žádný. Ale, kdybych dosazoval -x (kde x je ten úhel), změnilo by to znaménka všech čtyř gon. fcí, ne pouze dvou.

To určitě ne. Je totiž sin(-x) = -sin x, ale cos (-x)= cos x.

>> No a kdy se teda užívá která? Proti směru ručiček + a po směru -?

Proti směru +, po směru mínus.

>> Jde mi o to, že sem viděl několik zdrojů, které si navzájem protiřečily...

Nejspíš si neprotiřečí. Možná sis jenom nevšiml jedné maličkosti. Podívej se, jak a čím se ty matice násobí, když rotuješ bod...

Rumburak · 04. 11. 2016 11:36

↑ Quick1:

Ahoj. Pro lepší pochopení naznačme, jak lze rovnici oné rotace odvodit.
Vycházíme-li ze standardního označení souřadnicových os $(x, y, z)$ , pak snadno nahlédneme, že uvedené
zobrazení (ať již jde o rotaci či ne) nemění z-ovou souřadnici bodu, takže jeho základem je odpovídající zobrazení
v rovině $Pxy$ (získané tak, že na z-ové souřadnice bodů "zapomeneme"). Tuto rovinu můžeme vnímat jako
rovinu komplexních čísel.

V komplexní rovině je rotace bodu $x + y \mathrm{i} , x, y \in \mathbb{R}$ okolo nuly o úhel $\alpha$ popsána rovnicí

$f(x + y \mathrm{i}) = (\cos \alpha + \mathrm{i} \sin \alpha) (x + y \mathrm{i})$

(viz věta o součinu k.č. v goniometrickém tvaru), tedy po roznásobení a další úpravě

$f(x + y \mathrm{i}) = (x\cos \alpha - y \sin \alpha) + (x \sin \alpha + y \cos \alpha) \mathrm{i}$ .

Vnímáme-li k.č. jako sloupcově zapsaný dvousložkový vektor , můžeme předchozí rovnici psát v maticovém tvaru,
takto vzniklý zápis pak už jen formálně rozšíříme o další (z-ovou) souřadnici (která se "prostorovou" rotací
nebude měnit) a dostaneme maticovou rovnici odpovídající prostorové rotace.

Matematické Fórum

#1 03. 11. 2016 22:02 — Editoval Quick1 (03. 11. 2016 22:02)

Matice rotace

#2 03. 11. 2016 23:53

Re: Matice rotace

#3 04. 11. 2016 00:10 — Editoval Quick1 (04. 11. 2016 00:12)

Re: Matice rotace

#4 04. 11. 2016 08:40 — Editoval Eratosthenes (04. 11. 2016 08:41)

Re: Matice rotace

#5 04. 11. 2016 11:36

Re: Matice rotace

Zápatí